Question

ДУЖЕ ШВИДКО ДОПОМОЖІТЬ БУДЬ ЛАСКА

1. В основі конуса проведено хорду завдовжки m, яку видно з центра основи
під кутом α. Знайдіть висоту конуса, якщо твірна конуса утворює з площиною
основи кут β.

2. Осьовий переріз конуса – рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює
6√3 , а радіус описаного кола - 6 см. Знайдіть об'єм конуса.

3. Периметр осьового прерізу циліндра дорівнює Р, а його діагональ утворює з
площиною основи кут α. Знайдіть об’єм циліндра.

Answer 1

Ответ:

Позначимо висоту конуса як h. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного хордою, радіусом і висотою конуса, маємо:

h² = r² - (m/2)²,

де r - радіус основи конуса. Також відомо, що твірна конуса утворює з площиною основи кут β. Звідси можна записати:

tan(β) = r / h.

Використовуючи останню рівність, можемо виразити r через h:

r = h * tan(β).

Підставимо це значення r у перше рівняння:

h² = (h * tan(β))² - (m/2)²,

h² = h² * tan²(β) - (m/2)².

Розкривши дужки і переносячи все до одного боку, отримаємо:

0 = h² * (tan²(β) - 1) - (m/2)².

Звідси можна виразити h:

h = √((m/2)² / (1 - tan²(β))).

Радіус описаного кола конуса дорівнює 6 см, що є відстанню від вершини конуса до центру основи. Оскільки це є радіусом описаного кола, то це також є висота конуса. Позначимо висоту як h. Тоді маємо:

h = 6 см.

Об'єм конуса можна обчислити за формулою:

V = (1/3) * π * r² * h,

де r - радіус основи конуса. Радіус основи можна знайти за півосновою рівнобедреного трикутника, яке дорівнює 6√3. Оскільки цей радіус є половиною основи конуса, то маємо:

r = 6√3 * 2 = 12√3.

Підставляємо ці значення у формулу для об'єму:

V = (1/3) * π * (12√3)² * 6.

Периметр осьового перерізу циліндра дорівнює Р. Позначимо периметр як P і об'єм циліндра як V. Діагональ циліндра утворює з площиною

основи кут α. Запишемо формули для периметру та об'єму циліндра:

P = 2πr + 2πh,

V = πr²h,

де r - радіус основи циліндра, h - висота циліндра.

З рівняння периметру можна виразити радіус:

r = (P - 2πh) / (2π).

Також відомо, що діагональ утворює з площиною основи кут α. Можна записати трикутник, утворений діагоналлю, радіусом та висотою циліндра. За теоремою косинусів маємо:

cos(α) = (r² + h² - d²) / (2rh),

де d - діагональ циліндра. З рівняння для косинуса можна виразити r²:

r² = (2rh * cos(α) + d² - h²) / (2h).

Підставимо це значення r² у формулу для об'єму:

V = π * ((2rh * cos(α) + d² - h²) / (2h)) * h.

Спростимо вираз:

V = π * ((2r * cos(α) + (d² - h²) / r) * h.

Звідси можна бачити, що об'єм циліндра залежить від радіусу, висоти та діагоналі.

Пошаговое объяснение: