Question

Прямая пересекает стороны прямоугольника с длинами 20 и 30 см в точках A и B. Биссектрисы тупых углов между ней и данными сторонами пересекаются в точке O, расстояние от которой до меньшей его стороны равно 13 см. Чему равно расстояние (в см) от точки O до большей стороны?

Answer 1

Рассмотрим прямоугольник CDEF.

Рассмотрим угол CAB и биссектрису AO этого угла.

• Свойство биссектрисы: Любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон угла.

Точка О лежит на биссектрисе AO угла CAB, следовательно точка O равноудалена от сторон этого угла: AC и AB. Расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр:

$\mathrm{OK=OH,\ OK\perp CF,\ OH\perp AB,\ K\in CF,\ H\in AB}$

Аналогично рассмотрим угол EBA и биссектрису BO этого угла.

Точка О лежит на биссектрисе BO угла EBA, следовательно точка O равноудалена от сторон этого угла: BE и BA:

$\mathrm{OL=OH,\ OL\perp EF,\ OH\perp AB,\ L\in EF,\ H\in AB}$

Так как ОK=OH и ОL=OH, то ОK=ОL.

По построению:

CD || KN || EF и CF || ML || DE

Тогда:

OL = ML - MO = DE - MO

⇒ OL = 30 см - 13 см = 17 см

OK = OL

⇒ OK = 17 см

x = NK - OK = CD - OK

⇒ x = 20 см - 17 см = 3 см

Ответ: 3 см