Хорда перетинає діаметр кола під кутом 30° і ділить його на відрізки 4см і 10см. Знайдіть відстань від центра кола до цієï хорди.
Будь ласка допоможіть річна контрольна буду дуже вдячна за відповідь Дам 90 балів
Ответы
Объяснение:
Позначимо центр кола точкою O. Запишемо дані задачі і побудуємо креслення:
- Один відрізок хорди має довжину 4 см, другий - 10 см.
- Відрізки хорди ділять коло на три частини.
- Кут між хордою і діаметром, який вони утворюють, дорівнює 30 градусам.
Знаходимо радіус кола. Позначимо найбільший з відрізків хорди AB, а менший - CD. За теоремою про серединну перпендикуляр відрізок DE - серединний перпендикуляр до AB, а EF - середина відрізка AB. Оскільки в трикутнику DEF два катети дорівнюють 7 см і 2 см, то за теоремою Піфагора знайдемо гіпотенузу:
$DF = \sqrt{7^2 + 2^2} = \sqrt{53}$
Позначимо радіус кола через R. Оскільки хорда AB перетинає діаметр AO під кутом 30 градусів, то за теоремою косинусів в правильному трикутнику АОВ, де В - точка перетину хорди і діаметра, маємо:
$R^2 = AB^2 + \left(\frac{AO}{2}\right)^2 - 2 \cdot AB \cdot \frac{AO}{2} \cdot \cos{30^\circ}$
$R^2 = (10+4)^2 + \left(\frac{AO}{2}\right)^2 - 2 \cdot (10+4) \cdot \frac{AO}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$R^2 = 196 + \frac{AO^2}{4} - 7 \cdot AO$
Позначимо відстань від центра кола до хорди через h. Оскільки глибина кута 30 градусів дорівнює 15 градусам, то глибина цього ж кута на колі дорівнює:
$h = R \cdot \sin{15^\circ}$
Підставимо отримані значення в останнє рівняння:
$h = \sqrt{3} R - R \cdot \sqrt{\frac{7}{8} + \frac{\sqrt{3}}{8}}$
$h = R \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}})$
Таким чином, відстань від центра кола до хорди дорівнює $h = R \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{\frac{7}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}})$. Остаточно за рівнянням, яке ми отримали раніше, знаходимо радіус кола R.
На малюнку нижче показана схема рішення задачі:
