дослідіть функцію f(x)=2x^3-6x-2 на парність проміжки монотонності знайдіть точки екстримуму та екстримуми функції побудуйте графік цієї функції
Ответы
Ответ:
Для дослідження парності функції f(x) проведемо перевірку, чи симетрична відносно осі OY:
f(-x) = 2(-x)^3 - 6(-x) - 2 = -2x^3 + 6x - 2 = -f(x),
Отже, функція є непарною.
Щоб знайти проміжки монотонності функції, знайдемо похідну:
f'(x) = 6x^2 - 6.
Розв'язавши нерівність f'(x) > 0, отримаємо проміжок монотонності: (-∞, -1) ∪ (1, ∞).
Розв'язавши нерівність f'(x) < 0, отримаємо проміжок монотонності: (-1, 1).
Таким чином, функція є зростаючою на проміжку (-∞, -1), спадною на проміжку (-1, 1) і зростаючою на проміжку (1, ∞).
Для знаходження точок екстремуму розв'язуємо рівняння f'(x) = 0:
6x^2 - 6 = 0,
x^2 - 1 = 0,
(x - 1)(x + 1) = 0.
Отже, точки екстремуму: x1 = -1 та x2 = 1.
Для визначення типу екстремуму розглянемо знак другої похідної:
f''(x) = 12x.
f''(x1) = 12(-1) < 0, тому точка x1 = -1 є максимумом.
f''(x2) = 12(1) > 0, тому точка x2 = 1 є мінімумом.
Побудуємо графік функції:
Перш за все, зобразимо точки екстремуму -1 та 1 на графіку.
Знайдемо значення функції у відрізках між точками екстремуму:
f(-2) = 2(-2)^3 - 6(-2) - 2 = 26,
f(0) = 2(0)^3 - 6(0) - 2 = -2,
f(2) = 2(2)^3 - 6(2) - 2 = 18.
Також, помітимо, що функція є непарною, тому графік буде симетричним відносно початку координат.
Отже, графік функції має вигляд:
(див. прикріплений файл)
Объяснение:
екстримиум как надо тебе