Question

Исследовать на экстремум функцию нескольких переменных и найти значение функции в точке экстремума

z=yx-2y-x+14y

Answer 1

Відповідь:

Чтобы найти экстремумы функции z = yx - 2y - x + 14y, сначала найдем ее частные производные относительно переменных x и y.

∂z/∂x = y - 1

∂z/∂y = x - 2 + 14

Затем приравняем частные производные к нулю и решим систему уравнений:

y - 1 = 0 => y = 1

x - 2 + 14 = 0 => x = -12

Таким образом, точка (-12, 1) является возможной точкой экстремума.

Далее, найдем вторые производные функции для проверки типа экстремума:

∂²z/∂x² = 0

∂²z/∂y² = 0

Поскольку обе вторые производные равны нулю, то вторых производных не достаточно для определения типа экстремума.

Для более детального изучения типа экстремума, можно использовать методы второй производной или исследования поведения функции в окрестности точки (-12, 1).

Чтобы найти значение функции в точке экстремума, подставим значения x = -12 и y = 1 в исходную функцию:

z = (1)(-12) - 2(1) - (-12) + 14(1)

= -12 - 2 - (-12) + 14

= -12 - 2 + 12 + 14

= 12

Следовательно, значение функции в точке экстремума (-12, 1) равно 12.