ПОМОГИтЕ срочно! 40 баллов геометрия
1. В треугольнике АВС ∠А = 120°, ∠С = 25°.
а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны.
б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.
2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них
а) Докажите, что △AOD = △ВОС.
б) Найдите ∠OBC, если ∠ODA = 80°, ∠BOC = 65°.
3. В равнобедренном треугольнике с периметром 96 см одна из сторон равна 12 см. Найдите длину основания треугольника.
Ответы
Ответ:
1. а) Так как ∠А + ∠В + ∠С = 180° и ∠А + ∠В = ∠С (из-за равнобедренности), то ∠А + ∠А + ∠С = 180°, то есть ∠А = ∠С = 80°. Теперь в треугольнике АВС у нас два равных угла, значит, он равнобедренный. Боковые стороны равны AB и AC.
б) Пусть ∠BAK = α. Тогда по условию ∠CAK = 25° - α. Так как СК - биссектриса треугольника, то ∠AKС = ∠CKВ, то есть α + ∠CBD = 25° - α, откуда ∠CBD = 12.5°. Значит, ∠AKВ = 2α + 12.5°. Также мы знаем, что ∠А + ∠В = ∠С = 25°. Из этой формулы и равенства ∠А = ∠В = 80° следует, что ∠АВ = 20°. Значит, α + 20° = 2α + 12.5°, откуда α = 7.5° и ∠AKВ = 20°. Таким образом, биссектриса СК образует углы 20° и 155°.
2. а) Так как О - середина АВ и О - середина CD, то АО = ОВ и СО = OD. Значит, △AOD и △BOC равновеликие по стороне-противолежащей, их углы также равны (из-за равенства боковых сторон), значит, эти два треугольника равны полностью.
б) Так как △AOD = △ВОС, то ∠OAC = ∠OBC. Но мы также знаем, что АО = ОВ, значит, △АОВ равнобедренный и ∠АОВ = 180° - 2∠OAV = 2∠OAC. Тогда ∠OBC = ∠OAC = 1/2 ∠AОВ = 1/2 (180° - ∠ODA - ∠BOC) = 1/2 (180° - 80° - 65°) = 17.5°.
3. Пусть основание равнобедренного треугольника равно х. Так как треугольник равнобедренный, то две другие его стороны также равны х. Из периметра треугольника получаем уравнение:
2х + 12 = 96,
2х = 84,
х = 42.
Значит, длина основания треугольника равна 42 см.