Можно ли на ребрах куба расставить числа от 1 до 12 (по одному числу в каждом ребре) так, чтобы сумма чисел на трёх ребрах, выходящих из одной вершины, была одной и той же для каждой вершины куба?
Ответы
Нет, невозможно расставить числа от 1 до 12 на ребрах куба таким образом, чтобы сумма чисел на трёх ребрах, выходящих из одной вершины, была одинаковой для каждой вершины куба.
Предположим, что такое расположение чисел возможно. Рассмотрим вершину куба, у которой выходит три ребра. Пусть сумма чисел на этих трёх рёбрах равна S.
Каждое число от 1 до 12 будет использовано ровно один раз на рёбрах куба. Так как куб имеет 8 вершин, мы должны использовать каждое число два раза в суммах чисел на рёбрах, которые выходят из разных вершин.
Сумма чисел от 1 до 12 равна 78. Если каждое число используется дважды, то сумма всех чисел на рёбрах куба должна быть 2 * 78 = 156.
Однако, когда мы считаем сумму чисел на всех рёбрах куба, каждое число будет учитываться три раза, так как каждое число присутствует на трёх рёбрах. Таким образом, сумма чисел на всех рёбрах равна 3 * (1 + 2 + ... + 12) = 3 * 78 = 234.
Так как 156 не равно 234, мы приходим к противоречию. Следовательно, невозможно расставить числа от 1 до 12 на рёбрах куба таким образом, чтобы сумма чисел на трёх ребрах, выходящих из одной вершины, была одинаковой для каждой вершины куба.