Question

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС на медиане BD отмечена точка К, а на сторонах АВ и ВС и N соответственно. Известно, что угол ABC=61 градус, угол ADF=61 градус, угол CEF=60 градусов
а) Найдите угол BNK.

б) Докажите, что прямые MN и ВК взаимно перпендикулярны.

Answer 1

Для решения задачи воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и медианы.

а) Чтобы найти угол BNK, обратимся к свойству равнобедренного треугольника: медиана, проведенная из вершины треугольника, делит угол при основании пополам. Таким образом, угол NBK равен половине угла ABC.

Угол ABC = 61 градус, поэтому угол NBK = 61/2 = 30.5 градусов.

б) Чтобы доказать, что прямые MN и ВК взаимно перпендикулярны, воспользуемся свойством медианы в равнобедренном треугольнике. Медиана, проведенная из вершины треугольника, делит другую медиану пополам и перпендикулярна ей.

Мы знаем, что DK является медианой, поэтому МК = КН.

Также из условия известно, что угол ADF = 61 градус и угол CEF = 60 градусов.

Рассмотрим треугольник CEF. Угол CEF = 60 градусов, а угол CFE также равен 60 градусам (в равнобедренном треугольнике основание делит угол при вершине пополам).

Таким образом, треугольник CEF является равносторонним.

Тогда MC = CE = CF.

Аналогично, в треугольнике ADF угол ADF = 61 градус, а угол DAF равен 61 градус (в равнобедренном треугольнике основание делит угол при вершине пополам).

Треугольник ADF является равносторонним, поэтому MD = AD = AF.

Поскольку DK является медианой, то DK = 2 * MK.

Следовательно, DK = 2 * КН.

Так как МК = КН, то DK = 2 * МК.

Получается, что DK = 2 * MK, и прямые MN и ВК действительно взаимно перпендикулярны.