Question

Розв'язати лінійне диференціальне рівняння 1 порядку
$y' - \frac{y}{x} = x ^ 2$
​

Answer 1

Ответ:

Спочатку знайдемо загальний інтеграл однорідного рівняння:

$y' - \frac{y}{x} = 0$

Для цього розділимо змінні і проінтегруємо обидві частини:

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$

$\ln|y| = \ln|x| + C$

$|y| = e^C |x|$

$y = Cx$ або $y = -Cx$, де $C$ - довільна стала.

Тепер шукаємо частинний розв'язок неоднорідного рівняння у вигляді $y_p = Ax^2 + Bx + C$, де $A, B, C$ - невідомі коефіцієнти.

Підставляємо цей вираз у диференціальне рівняння і знаходимо коефіцієнти:

$y' = 2Ax + B$

$2Ax + B - \frac{Ax^2 + Bx + C}{x} = x^2$

$2Ax^2 + Bx - Ax^2 - Bx - C = x^3$

$Ax^2 - C = x^3$

$A = 0$, $C = 0$, $B = 0$

Таким чином, частинний розв'язок має вигляд $y_p = 0$.

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння має вигляд $y = y_h + y_p = C_1 x + C_2 x^2$, де $C_1, C_2$ - довільні сталі.

Отже, розв'язок диференціального рівняння $y' - \frac{y}{x} = x^2$ має вигляд $y = C_1 x + C_2 x^2$.

Пошаговое объяснение:

вот помог чем смог у меня там друг тонул в бассейне но увидел что тебе нужна была силнее помощь моя я к тебе написал это а друг задохнулся и умер