Question

Как получилось что $(x_{1} )^{3} = x_{1} - 1$?

Answer 1

У нас имеется многочлен третьей степени

P(x) = x³ - x + 1  

Приравняв его  к нулю мы получим

x³  - x + 1 = 0
x³ = x - 1

Поскольку  x₁ ,  x₂ ,  x₃  - корни  нашего многочлена

То при подстановке x₁,x₂,x₃ исходный многочлен будет равен нулю

$P(x_1) = x_1 ^3 - x_1 + 1 = 0$
$x^3_1 = x_1 -1$

При подстановке x₂,x₃ выходит аналогичное , поэтому

$x_2 ^3 = x_2 - 1 \\\\ x^3_3 = x_3 - 1$

И далее

$x_1 ^5 + x_ 2 ^5 + x_3 ^5 = x_1^3 \cdot x_1 ^2 + x_2 ^3 \cdot x_2^2 + x_3^3 \cdot x_3^2 = (x_1 - 1)x_1^2 + (x_2 -1)x_2^2 + (x_3 -1)x_3^2 = \\\\ = x_1^3 + x_2 ^3 + x_3^3 - (x_1 ^2 + x_2^2 + x_3^2)$

И снова воспользуемся тем ,  что x³ = x - 1  ⇒

$x_1 - 1 + x_2 - 1 + x_3 - 1 - (x_1 ^2 + x_2^2 + x_3^2) = (x_1 + x_2 + x_3) - 3 - (x_1 ^2 + x_2^3 + x_3 ^2)$

По теореме Виета для кубического уравнения

x³ - x + 1 = 0

$\left \{ \begin {array} {l} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\\\ x_1x_2 + x_2x_3 + x_1 x_3 = -1 \\\\ x_1 x_2 x_3 = 1\end{array}$

Воспользуемся формулой

(a + b + c)² = a² + b² + c²  + 2(ab + bc + ac) ⇒

a² + b² + c²  = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ac)

В нашем случае  :

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 =(x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1 x_3) = 0^2 -2\cdot (-1) = 2$

Таким образом :

$x_1 ^5 +x_2 ^5 + x_3 ^ 5= (\underbrace{x_1 + x_2 + x_3}_0) -3- (\underbrace{x_1 ^2 + x_2^3 + x_3 ^2}_2) = -3 - 2 = -5$

#SPJ1