Ответы
Ответ:
Предположим, что в равностороннем треугольнике ABC медианы AM и BN пересекаются в точке P под углом не 60°.
Означает, что в треугольнике ABP мы имеем угол PAB и PBA, не равный 60°. Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, углы PAB, PBA и угол ABP не могут быть равны 60° в равностороннем треугольнике.
Далее, по определению медианы, AM является срединой стороны BC, то есть BM = MC. Аналогично BN является серединой стороны AC, поэтому AN = NC. Итак, мы имеем:
∠MBP = 180° - ∠ABP - ∠PBA
∠NAP = 180° - ∠BAP - ∠PAB
Но с равенством ∠PAB = ∠PBA мы получаем ∠MBP = ∠NAP.
Таким образом, ∠MBP = ∠NAP, но если точка P пересекает медианы AM и BN под углом, не равным 60°, то ∠MBP ≠ ∠NAP.
Следовательно, наше предположение неправильно, и два медиана любого равностороннего треугольника пересекаются под углом 60°.
Объяснение: