Question

Обчислити об'єм паралелепіпеда з вершинами в точках А (1, 2, -1) В (1, -1, 3) С (3, 4, -1), D (5, 2, 0)0

Answer 1

Ответ:

Спочатку визначимо вектори AB, AC та AD.

AB = B - A = (1, -1, 3) - (1, 2, -1) = (0, -3, 4)

AC = C - A = (3, 4, -1) - (1, 2, -1) = (2, 2, 0)

AD = D - A = (5, 2, 0) - (1, 2, -1) = (4, 0, 1)

Обчислимо векторний добуток AB і AC для отримання вектора, перпендикулярного до площини паралелепіпеда.

AB x AC = (0, -3, 4) x (2, 2, 0) = (-12, 8, 6)

Обчислимо модуль векторного добутку:

|AB x AC| = √((-12)^2 + 8^2 + 6^2) = √(144 + 64 + 36) = √244 = 2√61

Обчислимо об'єм паралелепіпеда, використовуючи модуль векторного добутку та одну зі сторін паралелепіпеда (у цьому випадку можна взяти довжину сторони AB):

V = |AB x AC| * |AB| = 2√61 * √(0^2 + (-3)^2 + 4^2) = 2√61 * √25 = 2√61 * 5 = 10√61

Отже, об'єм паралелепіпеда з вершинами А (1, 2, -1), В (1, -1, 3), С (3, 4, -1) та D (5, 2, 0) дорівнює 10√61 одиницям об'єму.

(с объяснением сразу)