7. Кути, утворенi дiагоналями ромба з однією з його сторiн, вiдносяться як 2 : 3. Визначте кути ромба.
Ответы
Ответ:
Нехай ABCD - ромб. Нехай AC - діагональ, яка утворює кут α зі стороною AB, і BD - діагональ, яка утворює кут β зі стороною AB. Оскільки сторона AB ромба є спільною для обох кутів, то вони співпадають. Нехай α > β.
За умовою задачі відношення довжин діагоналей AC і BD дорівнює 2:3:
AC:BD = 2:3
Об'єднаємо цей факт з тим, що діагоналі ромба є перпендикулярними бісектрисами кутів ромба. Отже, утворені діагоналями кути α і β є бісектрисами кутів ADC і ABC відповідно.
Створимо прямокутний трикутник ADC з гіпотенузою AC. Тоді ми знаємо, що бісектриса кута ADC ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох інших сторін, що його утворюють:
AB:CD = AD:DC
За властивостями ромба, AB = CD. Тому:
AB:AB = AD:DC
1 = AD:DC
AD = DC
Отже, трикутник ABC є ізоскелесним, а кути, які утворюються діагоналями, однакові.
Нехай цей кут дорівнює γ. Тоді розглянемо трикутник ADB, у якому кути ADB і BAD також дорівнюють γ. За теоремою про внутрішні кути трикутника:
ADB + BAD + 90° = 180°
2γ + 90° = 180°
2γ = 90°
γ = 45°
Отже, кути ромба дорівнюють 45°.