Question

Используя признак лейбница исследуйте сходимость знакочередующегося ряда

Answer 1

Ответ:

Знакочередующийся ряд :    $\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n-1}\cdot \dfrac{1}{(n+1)!}=\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+...$

Проверим выполнение условий признака Лейбница .

$\bf a)\ \ |\, a_1\, | > |\, a_2\, | > |\, a_3\, | > ...\\\\\dfrac{1}{2!} > \dfrac{1}{3!} > \dfrac{1}{4!} > \dfrac{1}{5!} > \, ...$     выполняется

$\bf b)\ \ \lim\limits_{n \to \infty}\, |\, a_n\, |=\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{1}{(n+1)!}=0$   выполняется

Знакочередующийся ряд сходится по  признаку Лейбница .

 Ряд из абсолютных величин  $\bf \sum \limits _{n=1}^{\infty }\, |\, a_{n}\, |=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \dfrac{1}{(n+1)!}$   сходится по

признаку Даламбера , так как

$\bf \lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{|\, a_{n+1}\, |}{|\, a_{n}\, |}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{\dfrac{1}{(n+2)!}}{\dfrac{1}{(n+1)!}}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{(n+1)!}{(n+2)!}=\lim\limits _{n \to \infty}\, \dfrac{1}{n+2}=0 < 1$  

Знакочередующийся ряд сходится абсолютно .