Question

cos² a + cos² B-cos(a − B) cos(a +ß) ​

Answer 1

Ответ:

Упростить выражение .

Применим формулу произведения косинусов :

$\bf cosx\cdot cosy=\dfrac{1}{2}\, \Big(cos(x+y)+cos(x-y)\Big)$   и формулу косинуса

двойного угла :   $\bf cos2x=cos^2x-sin^2x$   . Учтём также чётность

функции косинус :  $\bf cos(-x)=cosx$   .

$\bf cos^2\alpha +cos^2\beta -cos(\alpha -\beta )\cdot cos(\alpha +\beta )=\\\\=cos^2\alpha +cos^2\beta -\dfrac{1}{2}\, \Big(cos2\alpha +cos2\beta \Big)=\\\\=cos^2\alpha +cos^2\beta -\dfrac{1}{2}\, \Big(cos^2\alpha -sin^2\alpha +cos^2\beta -sin^2\beta \Big)=\\\\=cos^2\alpha +cos^2\beta -\dfrac{1}{2}\, cos^2\alpha +\dfrac{1}{2}\, sin^2\alpha -\dfrac{1}{2}\, cos^2\beta +\dfrac{1}{2}\, sin^2\beta =$  

$\bf =\dfrac{1}{2}\, cos^2\alpha +\dfrac{1}{2}\, sin^2\alpha +\dfrac{1}{2}\, cos^2\beta +\dfrac{1}{2}\, sin^2\beta =\\\\=\dfrac{1}{2}\, (\underbrace{\bf cos^2a+sin^2a}_{1})+\dfrac{1}{2}\, (\underbrace{\bf cos^2\beta +sin^2\beta }_{1})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$