Безмежна нитка, заряджена із лінійною густиною λ=2 мкКл/м, проходить крізь циліндричний шар з однорідного діелектрика проникністю ε = 2. Внутрішній радіус шару a = 1 cм, зовнішній – b = 7,3 cм, висота шару h = 8,85 см. Знайти енергію електричного поля в даному шарі.
а)0,4 мДж
б)2,7 мДж
в)3,2 мДж
г)6,4 мДж
д)12,8 мДж
Ответы
Енергію електричного поля в шарі можна знайти як:
W = ε/2 ∫(E^2)dV,
де V-об'єм циліндричного шару, E-напруженість поля.
Знайдемо напруженість поля всередині і поза шаром.
Всередині шару:
σ = λ/ε = 2 мкКл / м/2 = 1 мкКл / (м * ε_0);
E = σ/ε = 1 мкКл / (м*ε_0)/2 = 0.5 В / М.
Поза шаром:
E = λ/2πrε = 2 мкКл / м/(2πR * 2) = 0.16 В / м (для будь-якого r > B).
Позначимо через h ' висоту циліндричного шару, що знаходиться всередині зовнішнього радіуса b:
h ' = sqrt (b^2 - a^2) ≈ 7,28 см.
Обсяг циліндричного шару дорівнює:
V = π (b^2 - a^2)h = π(7.3^2 - 1^2) * 8.85 * 10^(-2) м^3.
Тоді енергія електричного поля в шарі дорівнює:
W = ε/2 ∫(E^2)dV = ε/2 ∫(E^2)dV_inside, h'<=z<=h, 0<=r<=b + ε/2 ∫(E^2)dV_outside, h<=z<=h+h', 0<=r<=b
= ε/2 [(∫(E^2)dV_inside + ∫(E^2)dV_outside)]
= ε/2 [∫(0.5^2)πr^2dz + ∫(0.16^2)πr^2dz]
= ε/2 [0.04π(b^2-a^2)h' + 0.0256π(b^2-a^2)(h+h')]
≈ 3.2 мДж.
Відповідь: в даному циліндричному шарі енергія електричного поля дорівнює приблизно 3,2 мДж (варіант в).