Question

|x²-3x|+6x\|x +2|-7=>2 решите пожаааалуйста обясните пожааалуйстаааа))))быстрееее​

Answer 1

Ответ:

Неравенство с модулями .

$\bf \displaystyle \frac{|x^2-3x|+6x}{|x+2|-7}\geq 2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{|x\cdot (x-3)|+6x}{|x+2|-7}\geq 2\ \ ,\ \ \frac{|x|\cdot |x-3|+6x}{|x+2|-7}\geq 2$  

ОДЗ:  

$\bf |x+2|-7\ne 0\ \ \Rightarrow \ \ |x+2|\ne 7\ \ \ \Rightarrow \ \ x+2\ne \pm 7\ ,\ \ \underline{x\ne -9\ ,\ x\ne 5}$  

Определим, при каких значениях переменной модули обращаются в ноль .

$\bf |x|=0\ \ \to \ \ x_1=0\\\\|x-3|=0\ \ \to \ \ x-3=0\ \ ,\ \ x_2=3\\\\|x+2|=0\ \ \to \ \ x+2=0\ \ ,\ \ x_3=-2$  

Полученные три точки разобьют числовую прямую на 4 промежутка.

Рассмотрим неравенство на каждом из промежутков  .

$\bf a)\ -\infty < x\leq -2\ \ \Rightarrow \ \ x < 0\ \ \to \ \ |x|=-x\ \ ,\\\\(x-3) < 0\ \ \to \ \ |x-3|=-(x-3)=3-x\ \ ,\\\\(x+2) < 0\ \ \to \ \ |x+2|=-(x+2)=-x-2\ \ .$  

$\bf \displaystyle \frac{|x|\cdot |x-3|+6x}{|x+2|-7}=\frac{-x\cdot (3-x)+6x}{-x-2-7}=\frac{x^2+3x}{-x-9}\ \ ,\\\\\\\frac{x^2+3x}{-x-9}\geq 2\ \ \Rightarrow \ \ \frac{x^2+3x}{-x-9}-2\geq 0\ \ ,\ \ \frac{x^2+3x+2x+18}{-x-9}\geq 0\ \ ,\\\\\\\frac{x^2+5x+18}{x+9}\leq 0$  

Квадратный трёхчлен в числителе всегда принимает положительные значения, так как  $\bf D=5^2-4\cdot 18 < 0$   и   a=1>0  . Тогда дробь будет меньше 0 при  $\bf x+9 < 0\ \ ,\ \ x < -9$  .    

Такие значения переменной принадлежат рассматриваемому промежутку ,   $\boxed{\ \bf x\in (-\infty ;-9\, )\ }$  .

$\bf b)\ -2 < x\leq 0\ \ \Rightarrow \ \ x < 0\ \ \to \ \ |x|=-x\ \ ,\\\\(x-3) < 0\ \ \to \ \ |x-3|=-(x-3)=3-x\ \ ,\\\\(x+2) > 0\ \ \to \ \ |x+2|=x+2\ \ .$    

$\bf \displaystyle \frac{|x|\cdot |x-3|+6x}{|x+2|-7}=\frac{-x\cdot (3-x)+6x}{x+2-7}=\frac{x^2+3x}{x-5}\ \ ,\\\\\\\frac{x^2+3x}{x-5}\geq 2\ \ \Rightarrow \ \ \frac{x^2+3x}{x-5}-2\geq 0\ \ ,\ \ \frac{x^2+3x-2x+10}{x-5}\geq 0\ \ ,\\\\\\\frac{x^2+x+10}{x-5}\geq 0$

Квадратный трёхчлен в числителе всегда принимает положительные значения, так как  $\bf D=1^2-4\cdot 10 < 0$   и   a=1>0  . Тогда дробь будет больше 0 при  $\bf x-5 > 0\ \ ,\ \ x > 5$  .      

Такие значения переменной не входят в рассматриваемый промежуток, поэтому при  х ∈ (-2 ; 0 ]  решений нет .

$\bf c)\ 0 < x\leq 3\ \ \Rightarrow \ \ x > 0\ \ \to \ \ |x|=x\ \ ,\\\\(x-3) < 0\ \ \to \ \ |x-3|=-(x-3)=3-x\ \ ,\\\\(x+2) > 0\ \ \to \ \ |x+2|=x+2\ \ .$  

$\bf \displaystyle \frac{|x|\cdot |x-3|+6x}{|x+2|-7}=\frac{x\cdot (3-x)+6x}{x+2-7}=\frac{-x^2+9x}{x-5}\ \ ,\\\\\\\frac{-x^2+9x}{x-5}\geq 2\ \ \Rightarrow \ \ \frac{-x^2+9x}{x-5}-2\geq 0\ \ ,\ \ \frac{-x^2+9x-2x+10}{x-5}\geq 0\ \ ,\\\\\\\frac{-x^2+7x+10}{x-5}\geq 0\ \ ,\ \ \frac{x^2-7x-10}{x-5}\leq 0$  

Найдём корни квадратного трёхчлена , записанного в числителе .

$\bf x^2-7x-10=0\ \ ,\ \ D=7^2+4\cdot 10=89\ ,\\\\x_1=\dfrac{7-\sqrt{89}}{2}\approx -1,22\ \ ,\ \ x_2=\dfrac{7+\sqrt{89}}{2}\approx 8,22$  

Можно разложить на множители числитель .

$\bf \dfrac{(x+1,22)(x-8,22)}{x-5}\leq 0$  

Вычислим знаки функции:   $\bf ---[-1,22\, ]+++(5)---[\, 8,22\, ]+++$

Так как мы рассматриваем промежуток  ( 0 ; 3 ] , то решений не будет. В этом промежутке дробь не обращается в 0 и имеет знак плюс, а нужен знак минус , так как дробь  ≤ 0 .  

$\bf d)\ x > 3\ \ \Rightarrow \ \ x > 0\ \ \to \ \ |x|=x\ \ ,\\\\(x-3) > 0\ \ \to \ \ |x-3|=x-3\ \ ,\\\\(x+2) > 0\ \ \to \ \ |x+2|=x+2\ \ .$  

$\bf \displaystyle \frac{|x|\cdot |x-3|+6x}{|x+2|-7}=\frac{x\cdot (x-3)+6x}{x+2-7}=\frac{x^2+3x}{x-5}\ \ ,\\\\\\\frac{x^2+3x}{x-5}\geq 2\ \ \Rightarrow \ \ \frac{x^2+3x}{x-5}-2\geq 0\ \ ,\ \ \frac{x^2+3x-2x+10}{x-5}\geq 0\ \ ,\\\\\\\frac{x^2+x+10}{x-5}\geq 0$  

Такое неравенство уже рассматривалась в пункте  b) . Его решением будет    $\boxed{\ \bf x\in (\ 5\ ;+\infty \, )\ }$  ,  и это решение входит в рассматриваемый промежуток .  

Ответ:  $\boldsymbol{x\in (-\infty ;-9\ )\cup (\ 5\ ;+\infty \, )\ }$  .