Question

Найдите все действительные значения p при которых уравнение имеет решение
$\dfrac{1}{\sin x } + \dfrac{1}{\cos x} = \dfrac{1}{p}$

Answer 1

Ответ:

 $(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$

Объяснение:

                     $\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{p};\ \sin x\not=0;\ \cos x\not=0;\ p\not=0;$

              $p(\sin x+\cos x)=\sin x\cdot \cos x;\ \sin x+\cos x=t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}];$

                   $\sin x\cdot \cos x=\dfrac{t^2-1}{2};\ pt=\dfrac{t^2-1}{2};\ t^2-2pt-1=0.$

О дискриминанте беспокоиться не надо - он положителен при любом p. Поскольку t=0 не является решением этого уравнения, можно перейти к равносильному уравнению

                                                    $t-\dfrac{1}{t}=2p.$

Кстати, t=1 и t=-1 также не являются его решениями (ведь p≠0).

Легко заметить, что если некоторое число $t_1$ является корнем этого уравнения, то $-\dfrac{1}{t_1}$  также является его корнем, причем очевидно, что  одно из этих чисел по модулю не превосходит 1 и поэтому удовлетворяет ограничению на t, выписанному во второй строчке решения. Остаётся разобраться с тем, какие ограничения на t накладывают условия на синус и косинус. Если sin x=0, то cos x=±1; если cos x=0, то  sin x=±1; в обоих случаях t=±1. Но такие t не являются решениями нашего уравнения. Вывод: при любом p≠0 исходное уравнение имеет решение.