Вписане коло прямокутного трикутника ABC дотикається до
гіпотенузи AB у точці М.
Знайдіть сторони трикутника, якщо радіус кола дорівнює
2 см i AM менше від ВМ на 7 см.
Ответы
Відповідь:
АВ = 13 см
АС = 5 см
ВС = 12 см
Покрокове пояснення:
Дано:
АВС - прямокутний трикутник ( ∠С = 90*)
т.О - центр вписаного кола.
т.М - точка дотику до АВ
ОМ = r = 2см
ВМ - АМ = 7см
Знайти: АВ - ?; АС - ?; ВС - ? Розв‘язання:
Позначимо точки дотику кола до катетів АС і ВС точками Р і К. Проведемо радіуси ОР і ОК.
Висоти- радіуси, проведені із центра такого кола в прямокутному трикутнику до катетів утворюють з відрізками від точок дотику до вершини прямого кута квадрат зі стороною, рівною радіусу вписаного кола.
Отже, ОР=ОК=СР=СК=2см
Відрізки дотичних, проведені з однієї точки, рівні між собою.
Звідси маємо рівності:
АМ=АР - позначимо х;
ВМ = ВК.
За умовою ВМ - АМ = 7; ВМ = 7 + АМ;
ВМ = ВК = (7+х)
Сторони трикутника АВС становлять:
АВ = АМ + ВМ = х + х + 7 = 2х + 7;
АС = АР + СР = х + 2;
ВС = СК + ВК = 2 + х+ 7 = х + 9.
За теоремою Піфагора:
АВ^2 = АС^2 + ВС^2
Отже:
(2х+7)^2 = (х+2)^2 + (х+9)^2
4х^2 +28х+49 = х^2 +4х+4+ х^2+18х+81
4х^2 - 2х^2 + 28х - 22х +49 - 85 = 0
2х^2 + 6х - 36 = 0 | :2
х^2 + 3х - 18= 0
D = 3^2 - 4•1•(18)
D = 9+72 = 81
x1 = (-3 +9) :2 = 3
x2 = (-3 - 9) :2 = -6 не задовільняє умову.
Отже, АМ =3 см,
тоді ВМ = 3+7=10 см.
Сторони трикутника становлять:
АВ = 13 см
АС = 5 см
ВС = 12 см
