Question

Прошу как можно быстрее (50 баллов)

1) (cosx+sinx)^2=1-cos2x

2) (x^2-4) ∜(x+1)=0

3) 2^x∙3^2x∙5^x=90^3x-7

4) lg⁡(2x-1)+lg⁡(x+5)=lg13


У меня будет экзамен, нужно обязательно пояснение, а не просто ответы, чтобы я понял как решать подобное, заранее спасибо!

Answer 1

1) (cosx+sinx)^2=1-cos2x

Решение:
(cosx+sinx)^2 = cos^2x + 2cosxsinx + sin^2x
= 1 - sin^2x + 2sinxcosx + cos^2x (заменяем cos^2x на 1 - sin^2x)
= 1 - sin2x + sin2x (заменяем 2sinxcosx на sin2x)
= 1 - cos2x

Ответ: (cosx+sinx)^2=1-cos2x

2) (x^2-4) ∜(x+1)=0

Решение:
(x^2-4) ∜(x+1)=0
(x-2)(x+2) ∜(x+1)=0 (раскрываем скобки)
(x-2)(x+2) = 0 (извлекаем кубический корень из обеих частей)
(x-2) = 0 или (x+2) = 0
x = 2 или x = -2

Ответ: x=2 или x=-2

3) 2^x∙3^2x∙5^x=90^3x-7

Решение:
Перепишем 90 в виде произведения простых множителей: 90 = 2*3^2*5.
Тогда уравнение можно записать в виде:
2^x * 3^2x * 5^x = (2*3^2*5)^(3x-7)
Применим свойство степени: (a^b)^c = a^(b*c)
(2*3^2*5)^(3x-7) = 2^(3x-7) * 3^(2*(3x-7)) * 5^(3x-7)
Тогда уравнение можно переписать в виде:
2^x * 3^2x * 5^x = 2^(3x-7) * 3^(2*(3x-7)) * 5^(3x-7)
Приравняем показатели степеней для каждого простого множителя:
x = 3x - 7
2x = 6x - 14
x = 3x - 7

Решив систему уравнений, получим:
x = 7
Тогда левая и правая части уравнения равны:
2^7 * 3^14 * 5^7 = 90^14

Ответ: x=7

4) lg⁡(2x-1)+lg⁡(x+5)=lg13

Решение:
Применим свойство логарифма: lg(a*b) = lg(a) + lg(b)
lg(2x-1) + lg(x+5) = lg(13)
lg[(2x-1)(x+5)] = lg(13)
(2x-1)(x+5) = 13

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
2x^2 + 8x - 18 = 0

Решим квадратное уравнение:
D = b^2 - 4ac = 64 + 144 = 208
x1,2 = (-b ± sqrt(D)) / 2a
x1,2 = (-8 ± sqrt(208)) / 4

Ответ: x1 = (-8 + sqrt(208)) / 4, x2 = (-8 - sqrt(208)) / 4