Question

Sinх*cos5х=sin9х*cos3х

Answer 1

Для доведення тотожності sin(x) * cos(5x) = sin(9x) * cos(3x), можна використовувати тригонометричні тотожності та алгебраїчні перетворення. Давайте розв'яжемо це рівняння разом.

Почнемо з лівої частини рівняння:
sin(x) * cos(5x)

Застосуємо формулу потрійного кута для cos(5x):
cos(5x) = cos(3x + 2x) = cos(3x) * cos(2x) - sin(3x) * sin(2x)

Тоді ліва частина рівняння буде:
sin(x) * cos(5x) = sin(x) * [cos(3x) * cos(2x) - sin(3x) * sin(2x)]

Аналогічно обробимо праву частину рівняння:
sin(9x) * cos(3x)

Застосуємо формулу потрійного кута для sin(9x):
sin(9x) = sin(6x + 3x) = sin(6x) * cos(3x) + cos(6x) * sin(3x)

Answer 2

Ответ:

Щоб вирішити тригонометричне рівняння sin(x) * cos(5x) = sin(9x) * cos(3x), ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для спрощення рівняння і знаходження значень x, які задовольняють йому.

Використовуючи тотожність sin(a) * cos(b) = (1/2) * [sin(a + b) + sin(a - b)], ми можемо переписати рівняння наступним чином:

(1/2) * [sin(x + 5x) + sin(x - 5x)] = (1/2) * [sin(9x + 3x) + sin(9x - 3x)]

Подальше спрощення:

(1/2) * [sin(6x) + sin(-4x)] = (1/2) * [sin(12x) + sin(6x)]

Тепер ми можемо відняти (1/2) * sin(6x) з обох боків:

(1/2) * sin(-4x) = (1/2) * sin(12x)

Оскільки sin(-θ) = -sin(θ), рівняння стає:

-(1/2) * sin(4x) = (1/2) * sin(12x)

Множимо обидві частини на -2, щоб усунути дріб:

sin(4x) = -sin(12x)

Використовуючи тотожність sin(θ) = -sin(π - θ), ми можемо переписати рівняння наступним чином:

sin(4x) = sin(π - 12x)

Це означає, що або 4x = π - 12x, або 4x = π + 12x.

Варіант 1: 4x = π - 12x

16x = π

x = π/16

Варіант 2: 4x = π + 12x

-8x = π

x = -π/8

Отже, розв'язками рівняння sin(x) * cos(5x) = sin(9x) * cos(3x) є x = π/16 і x = -π/8.