Ответы
Почнемо з лівої частини рівняння:
sin(x) * cos(5x)
Застосуємо формулу потрійного кута для cos(5x):
cos(5x) = cos(3x + 2x) = cos(3x) * cos(2x) - sin(3x) * sin(2x)
Тоді ліва частина рівняння буде:
sin(x) * cos(5x) = sin(x) * [cos(3x) * cos(2x) - sin(3x) * sin(2x)]
Аналогічно обробимо праву частину рівняння:
sin(9x) * cos(3x)
Застосуємо формулу потрійного кута для sin(9x):
sin(9x) = sin(6x + 3x) = sin(6x) * cos(3x) + cos(6x) * sin(3x)
Ответ:
Щоб вирішити тригонометричне рівняння sin(x) * cos(5x) = sin(9x) * cos(3x), ми можемо використовувати тригонометричні тотожності для спрощення рівняння і знаходження значень x, які задовольняють йому.
Використовуючи тотожність sin(a) * cos(b) = (1/2) * [sin(a + b) + sin(a - b)], ми можемо переписати рівняння наступним чином:
(1/2) * [sin(x + 5x) + sin(x - 5x)] = (1/2) * [sin(9x + 3x) + sin(9x - 3x)]
Подальше спрощення:
(1/2) * [sin(6x) + sin(-4x)] = (1/2) * [sin(12x) + sin(6x)]
Тепер ми можемо відняти (1/2) * sin(6x) з обох боків:
(1/2) * sin(-4x) = (1/2) * sin(12x)
Оскільки sin(-θ) = -sin(θ), рівняння стає:
-(1/2) * sin(4x) = (1/2) * sin(12x)
Множимо обидві частини на -2, щоб усунути дріб:
sin(4x) = -sin(12x)
Використовуючи тотожність sin(θ) = -sin(π - θ), ми можемо переписати рівняння наступним чином:
sin(4x) = sin(π - 12x)
Це означає, що або 4x = π - 12x, або 4x = π + 12x.
Варіант 1: 4x = π - 12x
16x = π
x = π/16
Варіант 2: 4x = π + 12x
-8x = π
x = -π/8
Отже, розв'язками рівняння sin(x) * cos(5x) = sin(9x) * cos(3x) є x = π/16 і x = -π/8.
Отже, маємо наступне рівняння:
sin(6x) + sin(-4x) = sin(12x) + sin(6x)
Звернімо увагу, що sin(6x) з'являється в обох частинах. Відсутність sin(-4x) в правій частині говорить нам, що sin(-4x) має бути рівним нулю.
sin(-4x) = 0
Знайдемо значення x, для якого sin(-4x) = 0. Це відбувається, коли аргумент -4x є кратним числа π:
-4x = nπ, де n - ціле число
x = -nπ/4, де n - ціле число
Таким чином, загальним розв'язком рівняння sinхcos5х=sin9хcos3х є x = -nπ/4