В классе непрерывных функций найдите все функции
для которых верно равенство
для всех действительных x,y
Ответы
Ответ:
f(x)=0; f(x)=x.
Объяснение:
Пусть x=y=0; получаем равенство
Пусть y=0; получаем равенство
Это равенство при положительных x равносильно
а тогда
Пользуясь непрерывностью функции f(x), можно в этом равенстве перейти к пределу при
Обозначим f(1)=C, тогда f(x)=Cx при x≥0.
Выясним возможные значения C (заметим, мы пока не знаем, положительна ли константа C). Для этого вернемся к исходному уравнению, считая, что x и y >0:
Если C>0, проблем вообще нет, но поскольку это нам неизвестно, возьмем, например, y=1 и x такой, чтобы x+Cy=x+C>0. Получаем равенство
Рассмотрим по отдельности эти случаи.
ПустьC=0, то есть f(x)=0 при x≥0. Докажем, что тогда f(x)=0 и при x<0.
Подставим в исходное равенство y=0 и x<0; получаем
Пусть C=1, то есть f(x)=x при x≥0. Докажем, что тогда f(x)=x и при x<0.
Берем x<0 и y=-x/2>0, тогда исходное равенство превращается в
Итак, у нас два претендента - это функции f(x)=0 и f(x)=x. Непосредственная проверка показывает, что подходят оба - в первом случае исходное равенство превращается в тождество
0=0,
во втором случае - в тождество