Question

В классе непрерывных функций найдите все функции $f:R \to R$для которых верно равенство $f\Big(x \big(x + f(y) \big)\Big) = (x+y)f(x)$ для всех действительных x,y

Answer 1

Ответ:

f(x)=0; f(x)=x.

Объяснение:

                              $f\left(x(x+f(y)\right)=(x+y)f(x).$        

Пусть x=y=0;  получаем равенство

                                               $f(0)=0.$

Пусть y=0; получаем равенство

                                          $f(x^2)=xf(x).$

Это равенство при положительных x равносильно

                                $f(x)=\sqrt{x}f(\sqrt{x})=x^{1/2}\cdot f(x^{1/2}),$

а тогда

$f(x)=x^{1/2}\cdot f(x^{1/2})=x^{1/2}\cdot x^{1/4}\cdot f(x^{1/4})=\ldots=x^{1/2+1/4+\ldots +1/2^n}f(x^{1/2^n})=$

                                         $=x^{1-(1/2^n)}f(x^{1/2^n}).$

Пользуясь непрерывностью функции f(x),  можно в этом равенстве перейти к пределу при $n\to\infty:$

                                            $f(x)=x\cdot f(1).$

Обозначим f(1)=C, тогда  f(x)=Cx при x≥0.

Выясним возможные значения C (заметим, мы пока не знаем, положительна ли константа C). Для этого вернемся к исходному уравнению, считая, что x и y >0:

          $f(x(x+f(y))=(x+y)f(x);\ f(x(x+Cy))=C(x+y)x.$

Если C>0, проблем вообще нет, но поскольку это нам неизвестно, возьмем, например, y=1 и x такой, чтобы x+Cy=x+C>0. Получаем равенство

         $C(x^2+Cx)=C(x^2+x);\ C^2x=Cx;\ C^2=C;\ \left [ {{C=0} \atop {C=1}} \right. .$

Рассмотрим по отдельности эти случаи.

ПустьC=0, то есть f(x)=0 при x≥0. Докажем, что тогда f(x)=0 и при x<0.

Подставим в исходное равенство y=0  и x<0; получаем

  $f(x^2)=xf(x);\ 0=xf(x)\Rightarrow f(x)=0.$

Пусть C=1, то есть f(x)=x при x≥0. Докажем, что тогда f(x)=x и при x<0.

Берем x<0 и y=-x/2>0, тогда исходное равенство превращается в

   $f(x(x-(x/2))=(x-(x/2))f(x);\ f(x^2/2)=(x/2)f(x);\ x^2/2=(x/2)f(x);$

                                                $f(x)=x.$

Итак, у нас два претендента - это функции f(x)=0 и f(x)=x. Непосредственная проверка показывает, что подходят оба - в первом случае исходное равенство превращается в тождество

                                                    0=0,

во втором случае - в тождество

                                         $x^2+xy=x^2+xy.$