Question

Дослідити монотонність та екстремуми

$y = \frac{4}{x {}^{2} } - x$

будь ласка швидко, даю 45 балів​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Щоб дослідити монотонність та екстремуми функції, спочатку знайдемо її похідну:

$y' = -\frac{8}{x^3} - 1$

Для визначення точок екстремуму розв’язуємо рівняння:

$-\frac{8}{x^3} - 1 = 0$

$\frac{8}{x^3} = -1$

$x^3 = -8$

$x = -2$

Підставляємо значення x у другу похідну, щоб визначити тип екстремуму:

$y'' = \frac{24}{x^4}$

$y''(-2) = \frac{24}{(-2)^4} = 1.5 > 0$

Отже, точка (-2, 2) є точкою мінімуму.

Далі, аналізуємо знак першої похідної:

Якщо $x < -2$, то $y' < 0$, тому функція спадна на цьому інтервалі.

Якщо $x > -2$, то $y' > 0$, тому функція зростає на цьому інтервалі.

Отже, функція має точку мінімуму в (-2, 2) та є спадною на інтервалі (-∞, -2) та зростаючою на інтервалі (-2, ∞).