Question

Решить уравнение, используя обратный алгоритм Евклида:

$(5*x) mod 91 = 32$

Answer 1

Обратный алгоритм Евклида может быть использован для решения линейных сравнений вида `ax ≡ b (mod m)`. В данном случае `a = 5`, `b = 32`, и `m = 91`. Сначала нам нужно найти наибольший общий делитель (НОД) чисел `a` и `m`, используя алгоритм Евклида. Так как `НОД(5, 91) = 1`, существует единственное решение данного сравнения.

Далее нам нужно найти обратный элемент к `a` по модулю `m`. Это можно сделать с помощью расширенного алгоритма Евклида. Обратным элементом к `5` по модулю `91` является `55`, так как `(5 * 55) mod 91 = 1`.

Умножив обе стороны сравнения на обратный элемент к `a` по модулю `m`, получим `(55 * 5 * x) mod 91 = (55 * 32) mod 91`. Упрощая это выражение, получим `x ≡ 55 * 32 (mod 91)`.

Таким образом, решением данного сравнения является `x ≡ 1760 (mod 91)`. Наименьшим положительным целочисленным решением является `x = 1760 mod 91 = 23`.