Question

Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоуголь-
ного треугольника АВС с катетами АС = ВC = 1 см вокруг пря-
мой АС. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения прямоуголь-
ного треугольника АВС с катетами АС = ВC = 1 см вокруг пря-
мой АС.

Answer 1

ответ:

Для нахождения круга и площади поверхности тела вращения прямоугольного треугольника АВС с катетами AC = BC = 1 см вокруг прямого угла AC мы используем формулу для вращения вокруг оси.

Объем тела тела можно найти с помощью интеграла:

V = ∫[a,b] πy^2 dx,

где a и b - координаты точек пересечения прямой AC с прямой AB, y - расстояние от оси вращения до точки на фигуре.

Для прямоугольного треугольника АВС, точка В имеет координаты (0,0), точка С имеет координаты (1,0), и прямая АС является осью x.

Таким образом, наше интегральное выражение будет выглядеть следующим образом:

V = ∫[0,1] πy^2 dx.

Так как треугольник АВС является прямоугольным, его гипотенуза AB будет проходить через точку (1,1).

Уравнение прямого AB может быть как y = x.

Подставляем y = x в интеграл, мы оцениваем:

V = ∫[0,1] πx^2 dx.

Интеграция этого выражения, оценка:

V = π * (x^3)/3 |[0,1] V = π/3.

Таким образом, объем тела прямоугольного треугольника АВС вокруг прямого переменного равенства π/3 см^3.

Мы можем использовать формулу:

S = ∫[a,b] 2πy * ds,

где ds - элемент сбора охвата поверхности тела.

Для прямоугольного треугольника АВС можно выразить как ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx.

значение y = x, мы имеем dy/dx = 1.

Таким образом, элемент поиска дуги будет ds = sqrt(1 + 1^2) dx = sqrt(2) dx.

площадь тела

S = ∫[0,1] 2πx * sqrt(2) dx.

Интеграция этого выражения, оценка:

S = π * sqrt(2) * (x^2)/2 |[0,1] S = π * sqrt(2)/2.

Таким образом, площадь поверхности тела мира прямоугольного треугольника АВС вокруг прямой AC равна π * sqrt(2) / 2 см^2.