Ответы
Для обчислення площі фігури, обмеженої лініями, необхідно знайти точки перетину цих ліній та використати їх для визначення меж області інтегрування. У даному випадку, ми маємо наступні лінії:
y = -x^2 - 4x
y = 1
x = -3
x = -1
Спочатку знайдемо точки перетину ліній (1) і (2). Підставимо рівняння (2) в (1):
1 = -x^2 - 4x
Перепишемо рівняння у квадратній формі:
x^2 + 4x + 1 = 0
Застосуємо квадратне рівняння для знаходження коренів:
x = (-4 ± √(4^2 - 411))/(21)
x = (-4 ± √(16 - 4))/(21)
x = (-4 ± √12)/2
x = -2 ± √3
Таким чином, ми отримали дві точки перетину:
A (-2 + √3, 1)
B (-2 - √3, 1)
Тепер знайдемо точки перетину ліній (1) і (3). Підставимо x = -3 в рівняння (1):
y = -(-3)^2 - 4(-3)
y = -9 + 12
y = 3
Точка перетину:
C (-3, 3)
Нарешті, знайдемо точки перетину ліній (1) і (4). Підставимо x = -1 в рівняння (1):
y = -(-1)^2 - 4(-1)
y = -1 + 4
y = 3
Точка перетину:
D (-1, 3)
Отже, ми отримали чотири точки:
A (-2 + √3, 1)
B (-2 - √3, 1)
C (-3, 3)
D (-1, 3)
Тепер можемо обчислити площу фігури, яка обмежена цими лініями, за допомогою інтегралу. Площу можна обчислити як суму площ трикутників ADC і BDC, а також площі трапеції ABED.
Площа трикутника ADC:
S_ADC = 0.5 * AC * CD
Довжина AC:
AC = 3 - (-3) = 6
Довжина CD:
CD = 3 - 1 = 2
S_ADC = 0.5 * 6 * 2 = 6
Площа трикутника BDC така ж як площа трикутника ADC, тому S_BDC = S_ADC = 6.
Площа трапеції ABED:
S_ABED = 0.5 * (AB + DE) * h
Довжина AB:
AB = (-2 + √3) - (-2 - √3) = 2√3
Довжина DE:
DE = (-1) - (-3) = 2
Висота h, яка є різницею між функціями y = -x^2 - 4x та y = 1:
h = (-x^2 - 4x) - 1 = -x^2 - 4x - 1
S_ABED = 0.5 * (2√3 + 2) * (-x^2 - 4x - 1)
Тепер можемо обчислити остаточну площу, яка є сумою площ трикутників ADC і BDC, а також площі трапеції ABED:
S = S_ADC + S_BDC + S_ABED
= 6 + 6 + 0.5 * (2√3 + 2) * (-x^2 - 4x - 1)
Отримали вираз для площі фігури обмеженої лініями y = -x^2 - 4x, y = 1, x = -3, x = -1. Вираз можна спростити та вирахувати числове значення площі, підставивши відповідні значення x.