Будь ласка допоможіть ВАРІАНТ 15 1. Маємо точки A(0; - 3; 2) B( - 3; 1; - 6 ;) C(- 4; 1; 4) 1. Знайдіть координати токи D, що є серединою АС. 2. Обчисліть довжину відрізка АВ. 3. Знайдіть координати вектора AB - 2BC 4. Знайдіть скалярний добуток векторів АС і АВ. 5. Знайти со кута між векторами ВС і ВА. 6. Знайти периметр трикутника АВС
Ответы
Відповідь: 1. Знайдемо координати точки D, яка є серединою відрізка AC. Для цього використаємо середнє значення координат точок A і C.
Координати точки D можна знайти за формулою:
D = ( (Ax + Cx) / 2, (Ay + Cy) / 2, (Az + Cz) / 2 )
Замінюємо значення координат:
D = ( (0 + (-4)) / 2, (-3 + 1) / 2, (2 + 4) / 2 )
D = ( -2, -1, 3 )
Отже, координати точки D дорівнюють (-2, -1, 3).
2. Обчислимо довжину відрізка AB за формулою відстані між двома точками.
Довжина відрізка AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
Підставляємо значення координат:
AB = √((-3 - 0)² + (1 - (-3))² + (-6 - 2)²)
AB = √((-3)² + (1 + 3)² + (-8)²)
AB = √(9 + 16 + 64)
AB = √89
Отже, довжина відрізка AB дорівнює √89.
3. Знайдемо координати вектора AB - 2BC. Спочатку знайдемо вектор AB та вектор BC, а потім віднімемо від вектора AB подвоєний вектор BC.
Вектор AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA)
AB = (-3 - 0, 1 - (-3), -6 - 2)
AB = (-3, 4, -8)
Вектор BC = (xC - xB, yC - yB, zC - zB)
BC = (-4 - (-3), 1 - 1, 4 - (-6))
BC = (-1, 0, 10)
Вектор AB - 2BC = (-3 - 2(-1), 4 - 2(0), -8 - 2(10))
AB - 2BC = (-3 + 2, 4, -8 - 20)
AB - 2BC = (-1, 4, -28)
Отже, координати вектора AB - 2BC дорівнюють (-1, 4, -28).
4. Знайдемо скалярний добуток векторів AC і AB за формулою:
Скалярний добуток AB і AC = xAB * xAC + yAB * yAC + zAB * zAC
Підставляємо значення координат:
AB * AC = (-3 * 0
) + (4 * (-3)) + (-8 * 2)
AB * AC = (0) + (-12) + (-16)
AB * AC = -28
Отже, скалярний добуток векторів AC і AB дорівнює -28.
5. Знайдемо косинус кута між векторами ВС і ВА за формулою:
cos(θ) = (ВС * ВА) / (|ВС| * |ВА|)
Спочатку знайдемо значення чисельника:
ВС * ВА = xВС * xВА + yВС * yВА + zВС * zВА
Підставляємо значення координат:
ВС * ВА = (-4 * (-3)) + (1 * 0) + (4 * (-3))
ВС * ВА = (12) + (0) + (-12)
ВС * ВА = 0
Тепер знайдемо значення знаменника:
|ВС| = √(xВС² + yВС² + zВС²)
|ВА| = √(xВА² + yВА² + zВА²)
Підставляємо значення координат:
|ВС| = √((-4)² + 1² + 4²)
|ВС| = √(16 + 1 + 16)
|ВС| = √33
|ВА| = √((-3)² + 0² + (-8)²)
|ВА| = √(9 + 0 + 64)
|ВА| = √73
Тепер обчислимо косинус кута:
cos(θ) = 0 / (√33 * √73)
cos(θ) = 0
Отже, кут між векторами ВС і ВА дорівнює 0 градусів.
6. Для знаходження периметру трикутника АВС обчислимо довжини сторін AB, BC і AC і додамо їх.
AB = √89 (записано раніше)
BC = √((-1)² + 0² + 10²)
BC = √(1 + 0 + 100)
BC = √101
AC = √((-4)² + 1² + 4²)
AC = √(16 + 1 + 16)
AC = √33
Периметр трикутника АВС = AB + BC + AC
Периметр трикутника АВС = √89 + √101 + √33
Отже, периметр трикутника АВС дорівнює √89 + √101 + √33.
Покрокове пояснення: