Ответы
Пошаговое объяснение:
Диференціальне рівняння, яке ви подали, є рівнянням першого порядку та може бути розв'язане методом розділення змінних.
Почнемо з переписування рівняння у вигляді, зручному для подальшого розв'язання:
xy' - y(ln(y) - ln(x)) = 0
Розіб'ємо логарифми на дві окремі функції:
xy' - yln(y) + yln(x) = 0
Тепер розділимо змінні, перемістивши члени, що містять y, на одну сторону, а члени, що містять x, - на іншу:
xy' = yln(y) - yln(x)
Далі, розділимо обидві частини на y(ln(y) - ln(x)):
x/y = ln(y)/ln(x)
Це рівняння може бути розв'язане шляхом інтегрування обох сторін. Але зауважте, що з'являється розгалуження у вигляді ln(x) у знаменнику, тому потрібно розглянути два випадки:
1. Коли ln(x) ≠ 0 (тобто x ≠ 1):
ln(x) * x/y = ln(y)
Застосуємо експонента до обох сторін:
e^(ln(x) * x/y) = e^ln(y)
x^(x/y) = y
2. Коли ln(x) = 0 (тобто x = 1):
У цьому випадку рівняння стає простішим:
x/y = 1
x = y
Отже, ми отримали два розв'язки:
1. x^(x/y) = y, коли x ≠ 1
2. x = y, коли x = 1
Будь ласка, зауважте, що диференціальні рівняння можуть мати багато різних методів розв'язання, і в окремих випадках можуть бути неявні розв'язки або потребувати використання чисельних методів. Результат, який я надав, є одним із можливих розв'язків для даного рівняння.