Ответы
Для начала нужно найти все значения переменной x, при которых выражение (x-1)^2(x-5) равно нулю. Это произойдет в трех случаях:
(x-1)^2=0, откуда x=1
x-5=0, откуда x=5
x-1=0 и x-5=0 одновременно, откуда x=1 и x=5
Теперь нужно определить знак приведенного выражения в каждом из четырех интервалов, на которые эти значения разбивают числовую прямую:
1) x<-∞: знак (-)(-)(-) / (-) = (-), то есть выражение меньше нуля на этом интервале.
2) 1<x<2: знак (+)(-)(-)/(-)=(+), то есть выражение больше нуля на этом интервале.
3) 2<x<5: знак (+)(-)(+)/(+)=(-), то есть выражение меньше нуля на этом интервале.
4) x>5: знак (+)(+)(+)/(+)= (+), то есть выражение больше нуля на этом интервале.
Таким образом, неравенство будет выполнено на интервалах (-∞,1) и (2,5), а на интервалах [1,2] и [5, +∞) оно не будет выполнено.
Следует отметить, что при x=2 знаменатель x-2 обращается в ноль, поэтому неравенство не определено на этом значении, и его необходимо исключить из всех рассмотренных интервалов.
Итак, наименьшее решение неравенства - это точка х=5, так как на интервале (2,5) выражение принимает отрицательные значения, и больше наименьшего значения здесь не существует.