Question

ТЕРМІНОВО ПРОШУ!!! ❤️ 40 балів
Метод варіації довільної сталої для лінійного диференціального рівняння першого порядку.​

Answer 1

Відповідь:

Метод варіації довільної сталої є одним з методів розв'язування лінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Цей метод застосовується, коли в загальному розв'язку диференціального рівняння присутня стала, яка не визначена конкретно.

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння першого порядку у загальному вигляді:

dy/dx + P(x)y = Q(x),

де P(x) і Q(x) - задані функції.

Кроки методу варіації довільної сталої:

Знайдіть загальний розв'язок однорідного рівняння:

dy/dx + P(x)y = 0.

Для цього розв'язуємо рівняння без доданку Q(x). Отримуємо загальний розв'язок цього однорідного рівняння у вигляді:

y_h = Ce^(-∫P(x)dx),

де C - довільна стала.

Знайдіть частинний розв'язок неоднорідного рівняння:

dy/dx + P(x)y = Q(x).

Для цього шукаємо частинний розв'язок у вигляді:

y_p = u(x)e^(-∫P(x)dx),

де u(x) - функція, яку потрібно визначити. Підставляємо цей розв'язок у рівняння та визначаємо функцію u(x).

Загальний розв'язок неоднорідного рівняння буде:

y = y_h + y_p.

Підставляємо значення y_h та y_p, отримуємо остаточний вигляд загального розв'язку.

Якщо вихідне рівняння містить початкову умову (наприклад, y(x₀) = y₀), то використовуємо її для визначення значення конкретної сталої C у загальному розв'язку. Підставляємо початкові значення в загальний розв'язок та розв'язуємо рівняння для C.

Покрокове пояснення: