Question

Найти интеграл


Интеграл (dx)/(x(1+lnx)

Answer 1

Ответ:

$\ln | \ln x+ 1| + C$

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \int\limits {\frac{1}{x(1 + \ln x)} } \, dx$

Заметим , что

$(\ln x )'= \dfrac{1}{x} \\\\ \dfrac{1}{x} ~ d(x) = d(\ln x)$

Таким образом

$\displaystyle \int\limits {\frac{1}{x(1 + \ln x)} } \, dx = \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \, d(1+\ln x )$

Введя замену   1 + ln x = t ,  получаем

$\displaystyle \int\limits {\frac{1}{1 + \ln x} } \, d(1+\ln x ) = \int\limits {\frac{1}{t } \, d(t ) = \ln |t | + C = \ln | \ln x+ 1| + C$