Question

Срочно розв'язок рівняння у"= sin(2x-3)

Answer 1

Для решения уравнения вида $y''=f(x)$ необходимо дважды проинтегрировать правую часть.

Основные формулы интегрирования:

$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$

$\int\cos x\,dx=\sin x+C$

Рассмотрим уравнение:

$y''=\sin(2x-3)$

Сначала находим первую производную:

$y' =\int \sin(2x-3)dx$

Используем подведение под знак дифференциала:

$y' =\int \sin(2x-3)d\left(\dfrac{1}{2}\cdot2x\right)$

$y' =\dfrac{1}{2}\int \sin(2x-3)d(2x)$

$y' =\dfrac{1}{2}\int \sin(2x-3)d(2x-3)$

$y' =\dfrac{1}{2}\cdot\big(-\cos(2x-3)\big)+C_1$

$y' =-\dfrac{1}{2}\cos(2x-3)+C_1$

Теперь находим саму функцию:

$y =\int\left(-\dfrac{1}{2}\cos(2x-3)+C_1\right)dx$

$y =-\dfrac{1}{2}\int\cos(2x-3)dx+\int C_1dx$

$y =-\dfrac{1}{2}\int\cos(2x-3)d\left(\dfrac{1}{2} \cdot2x\right)+C_1x$

$y =-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\int\cos(2x-3)d\left(2x\right)+C_1x$

$y =-\dfrac{1}{4}\int\cos(2x-3)d\left(2x-3\right)+C_1x$

$\boxed{y =-\dfrac{1}{4}\sin(2x-3)+C_1x+C_2}$