Question

Знайдіть значення виразу 3 sin 9°-5cos0°

Answer 1

Ответ:

  $\bf 3\cdot sin9^\circ -5\cdot cos0^\circ =3\cdot sin9^\circ -5\cdot 1=3\cdot sin9^\circ -5$  

Вычислим значение  $\bf sin9^\circ$  ,  зная что  

$\bf sin18^\circ =\dfrac{\sqrt5-1}{4}\ \ ,\ \ \ cos18^\circ =\dfrac{\sqrt{5+\sqrt5}}{2\sqrt2}$  

Применим формулу :  $\bf 1-cosa=2sin^2\dfrac{a}{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ sin^2\dfrac{a}{2}=\dfrac{1-cos2a}{2}$  

$\bf sin^29^\circ =\dfrac{1-cos18^\circ }{2}=\dfrac{1}{2}\cdot \Big(1-\dfrac{\sqrt{5+\sqrt5}}{2\sqrt2}\Big)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2\sqrt2-\sqrt{5+\sqrt5}}{2\sqrt2}=\\\\\\=\dfrac{2\sqrt2-\sqrt{5+\sqrt5}}{4\sqrt2}=\dfrac{4-\sqrt{10+2\sqrt5}}{8}\ \ ,\qquad sin9^\circ > 0\\\\\\sin9^\circ =\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{10+2\sqrt5}}{8}}$  

$\bf 3\cdot sin9^\circ -5\cdot cos0^\circ =3\cdot \sqrt{\dfrac{4-\sqrt{10+2\sqrt5}}{8}}-5=\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{4-\sqrt{10+2\sqrt5}}{2}}-5$