Question

11 класс , решите пожалуйста !

Answer 1

Ответ:

Метод подстановки . Обозначаем новой переменной ту функцию, от которой имеется её дифференциал с точностью до константы .

$\bf \displaystyle 2)\ \int e^{5x^2}\cdot x\, dx=\Big[\ t=5x^2\ ,\ dx=10x\, dx\ \Big]=\frac{1}{10}\int e^{t}\, dt=\frac{1}{10}\cdot e^{t}+C=\\\\=\frac{1}{10}\cdot e^{5x^2}+C\\\\\\4)\ \int \frac{cosx\, dx}{4+sin^2x}=\Big[\ t=sinx\ ,\ dt=cosx\, dx\ \Big]=\int \frac{dt}{4+t^2}=\\\\\\=\frac{1}{2}\cdot arctg\frac{x}{2}+C\\\\\\6)\ \int (2x^2+1)^9\cdot x\, dx=\Big[\ t=2x^2+1\ ,\ dx=4x\, dx\ \Big]=\frac{1}{4}\int t^9\, dt=\\\\\\=\frac{1}{4}\cdot \frac{t^{10}}{10}+C=\frac{(2x^2+1)^{10}}{40}+C$

$\bf \displaystyle 7)\ \int \frac{x^4}{7+x^5}\, dx=\Big[\ t=7+x^5\ ,\ dx=5x^4\, dx\ \Big]=\frac{1}{5}\int \frac{dt}{t}=\frac{1}{5}\cdot ln|\, t\, |+C=\\\\\\=\frac{1}{5}\cdot ln|\, 7+x^5|+C\\\\\\9)\ \int \frac{arctg^4x}{1+x^2}\, dx=\Big[\ t=arctg\, x\ ,\ dt=\frac{dx}{1+x^2} \ \Big]=\int t^4\, dt=\frac{t^5}{5}+C=\\\\\\=\frac{1}{5}\cdot arctg^5x+C$