Question

Розв’язати диференціальне рівняння, відокремивши змінні.
(xy²+x)dx+(y-x²y)dy=0​

Answer 1

Ответ:

Даний диференціальний рівняння можна записати у вигляді:

(xy² + x)dx + (y - x²y)dy = 0

Щоб розв'язати його, спробуємо знайти інтегруючий множник, який домножить обидві частини рівняння. Для цього використовується умова збереження повного диференціала:

Mdx + Ndy = 0

Умова збереження повного диференціала виглядає так:

∂M/∂y = ∂N/∂x

Давайте розглянемо наше рівняння і порівняємо коефіцієнти:

M = xy² + x

N = y - x²y

∂M/∂y = 2xy + x

∂N/∂x = -2xy + y - 2x²y

Для того, щоб ∂M/∂y = ∂N/∂x, потрібно, щоб вони рівнілись одне одному:

2xy + x = -2xy + y - 2x²y

3xy + 2x²y - y - x = 0

Перегрупуємо:

3xy + 2x²y - x - y = 0

Тепер, коли коефіцієнти співпадають, знайдемо інтегруючий множник. Поділимо рівняння на (3xy + 2x²y - x - y):

(dx/dy) / (3xy + 2x²y - x - y) + (dy/dx) / (3xy + 2x²y - x - y) = 0

Тепер визначимо дільник, який є інтегруючим множником:

D = 1 / (3xy + 2x²y - x - y)

Тепер, помноживши обидві частини рівняння на D, отримаємо:

(dx/dy) / (3xy + 2x²y - x - y) * D + (dy/dx) / (3xy + 2x²y - x - y) * D = 0

Тепер можна помітити, що це повний диференціал по варіаблі "x":

d(xy) / (3xy + 2x²y - x - y) = 0

Щоб розв'язати це диференціальне рівняння, інтегруємо обидві частини:

∫ d(xy) = ∫ 0

xy = C

Отже, загальний розв'язок даного диференціального рівняння є xy = C, де C - це довільна константа.

Пошаговое объяснение: