Натуральне число можна множити на 2 і довільним чином переставляти в ньому цифри (заборонено лише ставити 0 на перше місце). Доведіть, що перетворити число 1 на число 74 за допомогою таких операцій неможливо.
Ответы
Спочатку будемо множити число на 2. Якщо число закінчується на 1, то при множенні на 2 остання цифра стане 2, а не 4, тож перетворення на число 74 стане неможливим. Якщо ж число закінчується на 2, то після множення на 2 остання цифра стане 4.
Тепер розглянемо всі можливі перестановки цифр у числі, закінченому на 4. Всього можливо $3!=6$ перестановок, але серед них є такі:
- Якщо переставити цифри $4$ та $1$ місцями, то отримаємо число, яке ділиться на $4$, а отже, при множенні на $2$ остання цифра не зміниться на $4$, тож перетворення стане неможливим.
- Якщо переставити цифри $4$ та $7$ місцями, то отримаємо число $47$, яке ділиться на $4$, а отже, при множенні на $2$ остання цифра не зміниться на $4$, тож перетворення стане неможливим.
Таким чином, жодна з перестановок не дозволяє перетворити число $1$ на число $74$, а отже, таке перетворення неможливе.