Вариант 1
№1. Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными: а) (3x + 7)dy - (y - 8)dx = 0, б) 5dy = (x4 + 8x2 + 9)dx
№2. Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений
второго порядка: у"+у-бу=0, y(0)=3, y'(0)=1;
№3. Исследовать функцию и построить ее график: y = x4 - 5x2 + 4
Вариант 2
№1. Найти решения дифференциальных уравнений с разделяющимися
переменными: а) (2х + 5)dy - (y - 2)dx = 0, 6) 3dy = (x4 - 5x2 + 4)dx
№2. Найти частные решения однородных дифференциальных уравнений
второго порядка: y"-бу'+9y =0, y(0) =1, y'(0) =1;
№3. Исследовать функцию и построить ее график: у = - x4 + 8x² + 9
Ответы
Ответ:
Объяснение:
№1а) Для решения данного дифференциального уравнения с разделяющимися переменными, мы должны разделить переменные и проинтегрировать обе части уравнения. В данном случае:
(3x + 7)dy - (y - 8)dx = 0
Перенесем все члены с y на одну сторону и все члены с x на другую сторону:
(3x + 7)dy = (y - 8)dx
Далее, разделим обе части на соответствующие переменные:
dy / (y - 8) = dx / (3x + 7)
Теперь мы можем проинтегрировать обе части. Интегралы будут иметь вид:
∫(dy / (y - 8)) = ∫(dx / (3x + 7))
ln|y - 8| = (1/3)ln|3x + 7| + C
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.
№1б) В данном случае у нас также есть дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
5dy = (x^4 + 8x^2 + 9)dx
Разделим обе части уравнения на соответствующие переменные:
dy = (x^4 + 8x^2 + 9)dx / 5
Теперь мы можем проинтегрировать обе части:
∫dy = (1/5)∫(x^4 + 8x^2 + 9)dx
y = (1/5)((1/5)x^5 + (8/3)x^3 + 9x) + C
где C - произвольная постоянная.
Таким образом, мы получили общее решение данного дифференциального уравнения.
№2) Для решения данного однородного дифференциального уравнения второго порядка, мы можем использовать характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид:
r^2 - b*r + 1 = 0
где b - произвольная постоянная.
Для нахождения частных решений, мы должны рассмотреть различные случаи в зависимости от корней характеристического уравнения.
№3) Данная функция y = x^4 - 5x^2 + 4 является параболой четвертой степени. Для исследования функции и построения ее графика, мы можем проанализиров