Question

Допоможіть будь ласка, ДАЮ 100 БАЛІВ

Answer 1

Ответ:

1. $\displaystyle \ln y=\arcsin x+C$
2. $\displaystyle \frac{1}{2} \mathtext{arctg} \frac{y}{2x} =\ln x+C$
3. $\displaystyle y=uv=(e^x+C)\cos x$

Пошаговое объяснение:

1. $y'\sqrt{1-x^2} -y=0$ - уравнение с разделяющимися переменными

$\displaystyle \frac{dy}{dx}\sqrt{1-x^2} -y=0\\\frac{dy}{dx}=\frac{y}{\sqrt{1-x^2} } \\\frac{dy}{y} =\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} } \\\int\limits {\frac{dy}{y} } =\int\limits {\frac{dx}{\sqrt{1-x^2} } } \\\\\ln y=\arcsin x+C$

2. $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4x^2+xy+y^2}{x^2}$ - однородное уравнение первого порядка

Покажем, что уравнение действительно однородное:

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{4(\lambda x)^2+\lambda x \cdot \lambda y+(\lambda y)^2}{(\lambda x)^2}=\frac{\lambda ^2(4x^2+xy+y^2)}{\lambda ^2 x^2}=\frac{4x^2+xy+y^2}{x^2}$

При подстановке $x\rightarrow \lambda x$, $y\rightarrow \lambda y$ в результате упрощений сократились все $\lambda$, значит, уравнение однородное.

Абсолютно все однородные уравнения решаются при помощи единственной замены: $y=xt$, $y'=t'x+t$.

Замена:

$\displaystyle y'=\frac{4x^2+xy+y^2}{x^2}\\t'x+t=\frac{4x^2+x\cdot xt+(xt)^2}{x^2} \\t'x+t=4+t+t^2\\t'x=4+t^2$

Разделяем переменные:

$\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{4+t^2}{x} \\\frac{dt}{4+t^2}=\frac{dx}{x} \\\int\limits {\frac{dt}{4+t^2}} =\int\limits {\frac{dx}{x} } \\\frac{1}{2} arctg \frac{t}{2} =\ln x+C$

Обратная замена:

$\displaystyle \frac{1}{2} \mathtext{arctg} \frac{y}{2x} =\ln x+C$

3. $\displaystyle \frac{dy}{dx} +y \mathtext{tg} x=e^x\cos x$ - линейное неоднородное уравнение первого порядка

Линейные неоднородные уравнения первого порядка решаются также при помощи единственной замены: $y=uv$, $y'=u'v+uv'$.

Замена:

$\displaystyle y'+y\mathtext{tg}x = e^x\cos x\\u'v+uv'+uv\mathtext{tg}x=e^x\cos x\\u'v+u(v'+v\mathtext{tg}x)=e^x\cos x\\\left \{ {{v'+v\mathtext{tg}x=0} \atop {u'v=e^x\cos x}} \right.$

Решаем первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными):

$\displaystyle v'+v\mathtext{tg}x=0\\\frac{dv}{dx} =-v\mathtext{tg}x\\\frac{dv}{v} =-\mathtext{tg}xdx \\\int\limits {\frac{dv}{v}} =-\int\limits {\mathtext{tg}xdx}\\\int\limits {\frac{dv}{v}} =-\int\limits {\frac{\sin xdx}{\cos x}}\\\int\limits {\frac{dv}{v}} =\int\limits {\frac{d\cos x}{\cos x}}\\\ln v=\ln(\cos x)\\\boxed{v=\cos x}$

Подставляем $v$ во второе уравнение системы (тоже с разделяющимися переменными):

$\displaystyle u'v=e^x\cos x\\u'\cos x =e^x\cos x\\\frac{du}{dx} =e^x\\du=e^xdx\\\int\limits {du} =\int\limits {e^xdx} \\\boxed{u=e^x+C}$

Обратная замена:

$y=uv=(e^x+C)\cos x$

#SPJ1