Question

Решите пожалуйста Вариант 2.

Answer 1

A6.

$3^x = 9^{\sqrt{3}},\\[1.5ex]x = \log_3\Big(3^{2\sqrt{3}}}\Big) = 2\sqrt{3}.$

Остаётся только правильно расположить величину $2\sqrt{3}$.

Будем сравнивать её квадрат и соответствующие квадраты краев данных промежутков:

$\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4\cdot 3 = 12$

При возведении в квадрат промежутки перейдут в

1) $({0; 1})$

2) $({1;4})$

3) $({4;9})$

4) $({9;16})$

Видно, что корень уравнения входит в 4) промежуток: $9 \leq 12 \leq 16 \implies 3 \leq 2\sqrt{3} \leq 4$.

B1.

$\log_{\tfrac{1}{2}} (2x+3) < \log_{\tfrac{1}{2}}(3x-2).$

Область определения неравенства:

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}}2x+3 > 0\\[1.5ex] 3x-2 > 0\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{@{}l@{}}x > {-\frac{3}{2}}\\[1.5ex] x > \frac{2}{3}\end{array}\right. \iff x > \dfrac{2}{3}$

Функция $f(t) = \log_{\tfrac{1}{2}}(t)$ является убывающей, поскольку $\dfrac{1}{2} < 1$. Значит, изначальное уравнение равносильно системе

$\left\{\begin{array}{@{}l@{}}x > \frac{2}{3},\\[1.5ex] 2x+3 > 3x -2. \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{@{}l@{}}x > \frac{2}{3},\\[1.5ex] x < 5.\end{array}\right. \iff \dfrac{2}{3} < x < 5.$

Целые решения даются числами

$\Big({\tfrac{2}{3};\;5}\Big)\bigcap\mathbb{Z} = \left\{{1,\, 2,\, 3,\, 4}\right\}$

Всего таких решений 4 штуки.