Question

Sin2x*cos3x=sin5x
Пожалуйста помогите

Answer 1

Основные формулы:

$\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2} \cos\dfrac{x-y}{2}$

$\sin x\cos y=\dfrac{1}{2} \big(\sin(x+y)+\sin(x-y)\big)$

Рассмотрим уравнение:

$\sin2x\cos3x=\sin5x$

$\dfrac{1}{2}\big( \sin(2x+3x)+\sin(2x-3x)\big)=\sin5x$

$\dfrac{1}{2}\big( \sin5x+\sin(-x)\big)=\sin5x$

$\dfrac{1}{2}( \sin5x-\sin x)=\sin5x$

$\dfrac{1}{2} \sin5x-\dfrac{1}{2}\sin x=\sin5x$

$-\dfrac{1}{2} \sin5x-\dfrac{1}{2}\sin x=0$

$\sin5x+\sin x=0$

$2\sin\dfrac{5x+x}{2} \cos\dfrac{5x-x}{2} =0$

$2\sin3x \cos2x =0$

$\left[\begin{array}{l} \sin 3x=0 \\ \cos 2x=0 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} 3x=\pi n \\ 2x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x=\dfrac{\pi n}{3} \\ x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2} \end{array}\right.,\ n\in\mathbb{Z}$

Ответ: $\dfrac{\pi n}{3} ;\ \dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}$