Question

100балів ТРИГОНОМЕТРИЧНА І ПОКАЗНИКОВА ФОРМИ К.Ч

Answer 1

1.Найдите результат в показательной форме :

$Z = e^{\tfrac{\pi i}{3} }\cdot (\sqrt{3} +i )$

По формуле Эйлера

$e^{ \varphi i } = \cos \varphi + i \sin \varphi$

Найдем модуль для  комплексного числа  √3  +  i

$r = |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2$

Таким образом

$\displaystyle 2\cdot \frac{1}{2}\cdot (\sqrt{3} + i) = 2 \left ( \frac{\sqrt{3} }{2} + \frac{1}{2}i \right) = 2\left (\cos \frac{\pi }{6} + i \sin \frac{\pi }{6} \right) = 2\cdot e^{\tfrac{\pi i }{6} }$

Приступаем к умножению

$e^{\tfrac{\pi i}{3} }\cdot (\sqrt{3} +i ) =e^{\tfrac{\pi i}{3} }\cdot 2\cdot e^{\tfrac{\pi i}{6} } = 2 \cdot e^{i \cdot (\tfrac{\pi }{3 } + \tfrac{\pi }{6} )} = \boxed{2 \cdot e^{\tfrac{\pi i}{2} }}$

2. Запишите  число в тригонометрической и  алгебраической форме :

$Z = e^{\tfrac{11 \pi i}{6} }$

По формуле Эйлера , найдем тригонометрическую форму

$\displaystyle e^{\tfrac{11 \pi i}{6} } = \boxed { \cos \frac{11 \pi }{6} + i \sin \frac{11 \pi }{6}}$  

Переходим к нахождению алгебраической формы

$\displaystyle \cos \frac{11 \pi }{6} + i \sin \frac{11 \pi }{6} = \cos 330^\circ + i \sin 330^\circ = \cos (360^\circ -30^\circ ) + i \sin (360^\circ - 30^\circ ) = \\\\\ = \cos (-30^\circ ) + i \sin (- 30^\circ ) = \frac{\sqrt{3} }{2} - \frac{1}{2} i = \boxed{ \frac{\sqrt{3} - i }{2}}$

3.Найдите результат в тригонометрической и показательной форме :

$Z = (1 - i\sqrt{3} )^{20}$

Запишем число  1 - i√3  в тригонометрической форме

$r = |z| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3}) ^2 } = 2$

$1 - \sqrt{3} i =\displaystyle 2\cdot \frac{1}{2}\cdot (1 - \sqrt{3} i) = 2\cdot \left ( \cos \Big(-\frac{\pi }{3} \Big) + i \sin \Big(-\frac{\pi }{3} \Big)\bigg )$

Теперь мы можем воспользоваться формулой Муавра :

$z^n = \big ( r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) \big )^n = r^n (\cos n \varphi + i \sin n \varphi )~ , ~ n \in \mathbb N$

$(1 - i\sqrt{3} )^{20} = \displaystyle \Bigg ( 2\cdot \bigg ( \cos \Big(-\frac{\pi }{3} \Big) + i \sin \Big(-\frac{\pi }{3} \Big)\bigg ) \Bigg ) ^{20} = \\\\ \\\\=2^{20 } \cdot \bigg ( \cos \Big(-\frac{20 \pi }{3} \Big) + i \sin \Big(-\frac{20 \pi }{3} \Big)\bigg ) = \boxed{2^{20 }\cdot \bigg ( \cos \Big(-\frac{2 \pi }{3} \Big) + i \sin \Big(-\frac{2 \pi }{3} \Big)\bigg )}$

Найдем показательную форму

$\displaystyle 2^{20 }\cdot \bigg ( \cos \Big(-\frac{2 \pi }{3} \Big) + i \sin \Big(-\frac{2 \pi }{3} \Big)\bigg ) = \boxed{2^{20 }\cdot e^{-\tfrac{2\pi i }{3} }}$

#SPJ1