Через дві твірні конуса, кут між якими дорівнює 60°, проведено переріз, ьплоща якого дорівнює 4√3 см2. Знайдіть кут між площиною перерізу й площиною основи конуса, якщо переріз відтинає від кола дугу 90°
Ответы
Ответ:
Площадь основы конуса дорівнює S = πr^2, де r - радіус кола основи. Так як переріз відтинає від кола дугу 90°, то його площа становить чверть площі кола:
4√3 = 1/4 * πr^2
r^2 = 16/π * √3
r = 2√(4/π) * √3 = 2√(12/π)
Тепер знайдемо висоту конуса. За теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику з катетами r і h відношення між ними буде:
r^2 + h^2 = L^2, де L - площина перерізу.
h^2 = L^2 - r^2 = (2√3)^2 - 16/π * √3 = 12 - 16/π * √3
h = √(12 - 16/π * √3)
Тепер знайдемо косинус шуканого кута. За теоремою синусів в прямокутному трикутнику з катетами r і h і гіпотенузою L:
sin(90° - α) = r/L
sin α = h/L
cos α = √(1 - sin^2 α) = √(1 - (h/L)^2)
cos α = √(1 - (12 - 16/π * √3)/(2√3)^2)
cos α = √(1 - (4/π))
Відповідь: кут між площиною перерізу і площиною основи конуса дорівнює arccos(√(1 - (4/π))) радіан або близько 60,7°.