Question

1. Знайти екстремум функцiï : y = x³ -9x² +24x-12. Побудувати схематично графік.​

Answer 1

Щоб знайти екстремуми функції, треба знайти точки, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує.

Похідна функції y = x³ -9x² +24x-12:

y' = 3x² -18x + 24

Знайдемо точки, в яких y' = 0:

3x² -18x + 24 = 0

x² - 6x + 8 = 0

(x-2)(x-4) = 0

x₁ = 2, x₂ = 4

Таким чином, функція має екстремуми в точках x = 2 та x = 4. Щоб визначити, чи ці точки є мінімумами чи максимумами, потрібно дослідити знак похідної навколо цих точок.

y'(x) < 0 для x < 2

y'(x) > 0 для 2 < x < 4

y'(x) < 0 для x > 4

Отже, точка x = 2 є максимумом, а точка x = 4 є мінімумом функції.

Для зображення графіку функції можна скористатися сервісом Desmos.com або побудувати графік вручну, використовуючи відомості про екстремуми та поведінку функції навколо цих точок. Наприклад, з точки зору вигляду функції, знаємо, що вона є кубічною і має максимум в точці x=2 та мінімум в точці x=4. Також, знаємо, що функція є парною, тобто симетричною відносно осі y.

Отже, графік функції можна наблизно побудувати наступним чином:

![Графік функції y = x³ -9x² +24x-12]