Question

При каком значении m сумма квадратов корней квадратного уравнения
x²-(m-3)x-5m=0
будет наименьшей?

Answer 1

Ответ: при m=-2

Объяснение:

По теореме Виета

X1*X2=-5m    => 2X1*X2=-10m  (1)

X1+X2=m-3   (2)

(X1+X2)²=(m-3)²

X1²+2X1*X2+X2²=m²-6m+9

X1²+X2²=m²-6m+9-2X1*X2

Подставим в правую часть уравнения вместо 2X1*X2=-10m ( см формулу (1)  )

=>X1²+X2²=m²-6m+9-(-10m)

X1²+X2²=m²+4m+9

Найдем значение m, при котором  g(m)=  m²+4m+9 будет минимальным

Это значение соответствует абсциссе вершины графика функции

g(m)=m²+4m+9     mв= b/-2a = 4/(-2)=-2

Минимум будет достигаться при m=-2 и будет равен

m²+4m+9=4-8+9=5

Answer 2

$\displaystyle\bf\\x^{2} -(m-3)x-5m=0\\\\Teorema \ Vieta \ :\\\\x_{1} + x_{2} =m-3\\\\x_{1} \cdot x_{2} =-5m\\\\\\x_{1} ^{2} +x_{2}^{2} =(x_{1} +x_{2} )^{2} -2x_{1} x_{2} =(m-3)^{2} -2\cdot(-5m)=\\\\\\=m^{2} -6m+9+10m=m^{2} +4m+9=(m^{2} +4m+4)+5=\\\\\\=(m+2)^{2} +5$

(m + 2)² ≥ 0  ,  значит полученная сумма будет наименьшей в том случае , когда m + 2  будет равно нулю .

m + 2 = 0

m = - 2