(4-4i)^3 возвести в указанную степень комплексное число, найти все значения корней из комплексного числа
Ответы
Ответ:
Для возведения комплексного числа (4 - 4i) в степень 3, нужно умножить его на само себя три раза:
(4 - 4i)^3 = (4 - 4i)(4 - 4i)(4 - 4i)
= (16 - 16i - 16i + 16i^2)(4 - 4i)
= (-32 - 32i)(4 - 4i)
= -128 - 128i
Таким образом, (4 - 4i)^3 = -128 - 128i.
Чтобы найти корни из комплексного числа -128 - 128i, нужно решить уравнение z^3 = -128 - 128i. Для этого сначала найдём модуль и аргумент этого числа:
|z| = √((-128)^2 + (-128)^2) = √32768 = 128
Arg(z) = arctan(-128/-128) = arctan(1) = π/4 или 45 градусов
Затем, используя формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, можем найти три корня:
z1 = 128 ∠ (π/12)
z2 = 128 ∠ (5π/12)
z3 = 128 ∠ (9π/12)
Таким образом, все значения корней из комплексного числа -128 - 128i это 128, умноженное на одно из трёх комплексных чисел: z1 = 128 ∠ (π/12), z2 = 128 ∠ (5π/12), z3 = 128 ∠ (9π/12).