Question

(4-4i)^3 возвести в указанную степень комплексное число, найти все значения корней из комплексного числа

Answer 1

Ответ:

Для возведения комплексного числа (4 - 4i) в степень 3, нужно умножить его на само себя три раза:

(4 - 4i)^3 = (4 - 4i)(4 - 4i)(4 - 4i)

= (16 - 16i - 16i + 16i^2)(4 - 4i)

= (-32 - 32i)(4 - 4i)

= -128 - 128i

Таким образом, (4 - 4i)^3 = -128 - 128i.

Чтобы найти корни из комплексного числа -128 - 128i, нужно решить уравнение z^3 = -128 - 128i. Для этого сначала найдём модуль и аргумент этого числа:

|z| = √((-128)^2 + (-128)^2) = √32768 = 128

Arg(z) = arctan(-128/-128) = arctan(1) = π/4 или 45 градусов

Затем, используя формулу Муавра для возведения комплексного числа в степень, можем найти три корня:

z1 = 128 ∠ (π/12)

z2 = 128 ∠ (5π/12)

z3 = 128 ∠ (9π/12)

Таким образом, все значения корней из комплексного числа -128 - 128i это 128, умноженное на одно из трёх комплексных чисел: z1 = 128 ∠ (π/12), z2 = 128 ∠ (5π/12), z3 = 128 ∠ (9π/12).