Question

Решить дифференциальные уравнения и найти отдельное решение.
cos²(x)*y'+sin²(y)=0, y(π/4)=π/4

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\cos^2(x)y'+\sin^2(y)=0\\\cos^2(x)\dfrac{dy}{dx}=-\sin^2(y)\\-\dfrac{dy}{\sin^2(y)}=\dfrac{dx}{\cos^2(x)}$

На этом этапе отметим, что $y=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$ есть особое решение.

$-\int\dfrac{dy}{\sin^2(y)}=\int\dfrac{dx}{\cos^2(x)}$

$-\int\dfrac{dy}{\sin^2(y)}=\mathrm{ctg}\,y+C_1$

$\int\dfrac{dx}{\cos^2x}=\mathrm{tg}\,x+C_2$

$\mathrm{ctg}\,y=\mathrm{tg}\,x+\widetilde{C}$

Итого решение дифференциального уравнения:

$\mathrm{ctg}\,y=\mathrm{tg}\,x+\widetilde{C},\;y=n\pi,\;n\in\mathbb{Z}$

Подставляем $y=x=\dfrac{\pi}{4}$.

$1=1+\widetilde{C},\;\Rightarrow\;\widetilde{C}=0$

$\mathrm{ctg}\,y=\mathrm{tg}\,x,\;\Rightarrow\;y=\mathrm{arcctg}\,\mathrm{tg}\,x$

Задание выполнено!