Question

4. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x)={1/3x^3+3/2 x² -10х+4 на відрізку [- 3; 3]. ​

Answer 1

Ответ:

38,5 - наибольшее значение функции на отрезке  [-3; 3]

$-7\dfrac{1}{3} -$ наименьшее значение функции на отрезке  [-3; 3]

Объяснение:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

$f(x)= \dfrac{1}{3} x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} -10x+4$   на отрезке    [-3; 3]

Область определения функции D (f) = ( - ∞; + ∞ )

Найдем производную заданной функции

$f'(x)=\left( \dfrac{1}{3} x^{3} + \dfrac{3}{2}x^{2} -10x+4\right)'= \dfrac{1}{3}\cdot 3x^{2} + \dfrac{3}{2}\cdot 2x -10= x^{2} +3x-10$

Найдем критические точки, решив уравнение: $f'(x)=0.$

$x^{2} +3x-10=0;\\\\D= 3^{2} -4\cdot 1\cdot (-10)=9+40=49=7^{2} ;\\\\x{_1}=\dfrac{-3-7}{2} =-\dfrac{10}{2} =-5;\\\\x{_1}=\dfrac{-3+7}{2} =\dfrac{4}{2} =2$

Заданному отрезку [-3; 3] принадлежит х =2. Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в точке х =2.

$f(-3)= \dfrac{1}{3}\cdot(- 3)^{3} + \dfrac{3}{2}\cdot(- 3)^{2} -10\cdot (-3)+4= \dfrac{1}{3}\cdot(-27) +\dfrac{3}{2}\cdot9+30+4=\\\\=-9 +\dfrac{27}{2} +34= 13,5+25=38,5;$

$f(2)= \dfrac{1}{3}\cdot 2^{3} + \dfrac{3}{2}\cdot 2^{2} -10\cdot 2+4= \dfrac{1}{3}\cdot8 +\dfrac{3}{2}\cdot4-20+4=\\\\= \dfrac{8}{3} +6-16= 2\dfrac{2}{3} -10= 2\dfrac{2}{3} - 9\dfrac{3}{3} =- 7\dfrac{1}{3};$

$f(3)= \dfrac{1}{3}\cdot 3^{3} + \dfrac{3}{2}\cdot3^{2} -10\cdot 3+4= \dfrac{1}{3}\cdot27+\dfrac{3}{2}\cdot9-30+4=\\\\=9 +\dfrac{27}{2}-30 +4= 13,5+13-30=13,5-17=-3,5.$

Сравним полученные значения и выберем наибольшее и наименьшее значения.

38,5 - наибольшее значение функции на отрезке  [-3; 3]

$-7\dfrac{1}{3} -$ наименьшее значение функции на отрезке  [-3; 3]

#SPJ1