Question

Дослідити ряд на збіжність

Answer 1

Ответ:

• ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }$ сходится

Пошаговое объяснение:

Дан ряд:

$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }$

Сравним данный ряд с рядом $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[6]{n^{13}} }$ - это гармонический сходящийся ряд, так как $\displaystyle \alpha =\frac{13}{6} > 1$.

Используем предельный признак сравнения:

$\large \boldsymbol{} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }}{\frac{1}{\sqrt[6]{n^{13}} } } =\lim_{n \to \infty}\bigg(\sqrt[6]{n^{13}}\cdot \sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }\bigg)=\\=\bigg[\sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }\sim \frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} } \bigg]=\lim_{n \to \infty}\bigg(\sqrt[6]{n^{13}}\cdot\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }\bigg)=$

$\large \boldsymbol{} \displaystyle =\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{n^{\frac{13}{6}+\frac{1}{3} }} {\sqrt{n^5+2} }\bigg)=\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{n^{\frac{5}{2} }} {\sqrt{n^5+2} }\bigg)=\\=\bigg[\sqrt{n^5+2}\sim \sqrt{n^5} \bigg]=\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{ \sqrt{n^5} } {\sqrt{n^5} }\bigg)=1$

Поскольку предел оказался равным конечному числу и поскольку сравнимый ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[6]{n^{13}} }$ сходится, то и исходный ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }$ тоже сходится.

Проясним некоторые моменты:

1) Почему выбрали именно такой $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[6]{n^{13}} }$ сравнимый ряд?

Способ нахождения сравнимого ряда достаточно стандартен: надо из наибольшего показателя степени знаменателя вычесть наибольший показатель степени числителя.

В знаменателе под корнем стоит выражение $n^5+2$, большая степень - 5. Мы мысленно отбрасываем 2, и тогда наибольший показатель степени знаменателя получится $\displaystyle \frac{5}{2}$ ($\displaystyle \sqrt{n^5}= n^{\frac{5}{2} }$). (Если бы было, к примеру, подкоренное выражение $n^5+n^3+2$, мы бы отбросили $n^3+2$, так как 5 - по-прежнему наибольшая степень).

В числителе попроще: сразу видно, что наибольший показатель степени - $\displaystyle \frac{1}{3}$ ($\displaystyle \sqrt[3]{n} =n^\frac{1}{3}$).

В качестве сравнимого ряда обычно выбирают гармонический ряд $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha }$, тогда по приведенному способу вначале этого пункта найдем $\alpha$: $\displaystyle \alpha =\frac{5}{2} -\frac{1}{3} =\frac{13}{6}$. Таким образом, сравнимый ряд: $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{\frac{13}{6} } }=\displaystyle \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt[6]{n^{13}} }$.

2) Каким образом заменили $\displaystyle \sin\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }$ на $\displaystyle\frac{\sqrt[3]{n} }{\sqrt{n^5+2} }$?

Заметим, что $\sqrt{n^5+2}$ более высокого порядка роста, чем $\sqrt[3]{n}$, проще говоря, знаменатель дроби растет быстрее (причем во много раз), чем числитель, поэтому дробь (аргумент синуса) можно считать бесконечно малой. Но из курса математического анализа известно, что для $\alpha \rightarrow 0$ справедлива следующая эквивалентность: $\sin\alpha \sim \alpha$.

3) Каким образом заменили $\sqrt{n^5+2}$ на $\sqrt{n^5}$?

Посмотрим на предел, который идет до замены: $\large \boldsymbol{} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{n^{\frac{5}{2} }} {\sqrt{n^5+2} }\bigg)$.

Можно заметить, что так как и в числителе, и в знаменателе основание с наибольшим показателем степени - $\displaystyle n^{\frac{5}{2} }$, то $\sqrt{n^5}$ и $\sqrt{n^5+2}$ называются функциями одного порядка роста. А для таких функций при $n\rightarrow \infty$ справедливо следующее: $an+b\sim an$, $an^2+bn+c\sim an^2$ и т.д.

Данный способ крайне удобен для вычисления подобных пределов, так как мы практически сразу получаем ответ.

Как бы выглядело полное решение данного предела?

$\large \boldsymbol{} \displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{n^{\frac{5}{2} }} {\sqrt{n^5+2} }\bigg)=\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{\sqrt{n^5} } {\sqrt{n^5(1+\frac{2}{n^5} )} }\bigg)=\\=\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{\sqrt{n^5} } {\sqrt{n^5} \sqrt{1+\frac{2}{n^5} } }\bigg)=\lim_{n \to \infty} \bigg( \frac{1} {\sqrt{1+\frac{2}{n^5}}\rightarrow 0 }\bigg)=\frac{1}{\sqrt{1+0} } =1$

#SPJ1