Question

{(x+1)^2} = x^2
{} = Дробная часть

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\left\{\left(x+1\right)^2\right\}=x^2$

По определению дробной части:

$\left(x+1\right)^2-\left[\left(x+1\right)^2\right]=x^2$

Упрощаем записанное и получаем:

$\left[\left(x+1\right)^2\right]=2x+1$

Или, что то же самое:

$\left[x^2+\left(2x+1\right)\right]=2x+1$

Теперь заметим, что если $2x+1$ не целое, то равенство невозможно.

Тогда перейдем к системе:

$\left\{\begin{array}{c}\left[x^2\right]+\left(2x+1\right)=2x+1\\2x+1\in\mathbb{Z}\end{array}\right,\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}\left[x^2\right]=0\\2x\in\mathbb{Z}\end{array}\right\;\Rightarrow\;\left\{\begin{array}{c}x\in\left(-1;\;1\right)\\2x\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

Понятно, что существует только 3 значения $x$ из промежутка $\left(-1;1\right)$ таких, что $2x\in\mathbb{Z}$.

Это числа:

$x=\pm\dfrac{1}{2},\;x=0$.

Уравнение решено!