Ответы
Ответ:
Радиус равен (ед.).
Площадь трапеции равен 8 ед.²
Объяснение:
Основания равнобедренной трапеции ABCD AD = 5 и ВС = 3. Точка К - середина AD. Известно, что окружность, проходящая через точки D, K, C, проходит также через точку N пересечения диагоналей AC и BD. Найдите радиус этой окружности и площадь трапеции.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция;
AD = 5 и ВС = 3;
АК = КD;
AC ∩ BD = N;
D, K, C, N ⊂ Окр.О.
Найти: R окр.О; S(ABCD)
Решение:
1. Рассмотрим ΔABD и ΔACD.
AB = CD (условие); AD - общая;
- В равнобедренной трапеции диагонали равны.
⇒ АС = BD
ΔABD = ΔACD (по трем сторонам, 3-й признак)
- В равных треугольниках соответственные элемента равны.
⇒ ∠CAD = ∠BDA
2. Рассмотрим ΔAND.
∠CAD = ∠BDA
- Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
⇒ ΔAND - равнобедренный.
АК = КD (условие)
⇒ NK - медиана.
- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.
⇒ NK ⊥ AD.
3. Проведем высоту СН.
Высота, опущенная из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, меньшая из которых равна полуразности оснований.
⇒ HD = (Ad - BC) : 2 = (5 - 3) : 2 = 1
Тогда АН = 5 - 1 = 4.
4. Рассмотрим ΔACD.
∠NKD = 90° - вписанный.
- Прямой вписанный угол опирается на диаметр.
⇒ ∠NCD = 90° (вписанный)
⇒ ΔACD - прямоугольный.
СН - высота.
- Квадрат высоты, опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу, равен произведению проекций катетов.
⇒ СН² = AH · HD
CH² = 4 · 1 = 4 ⇒ CH = 2.
5. Найдем площадь трапеции.
- Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
(ед.²)
6. Рассмотрим ΔANK и ΔАСН - прямоугольные.
∠CAD - общий.
⇒ ΔANK ~ ΔАСН
AK = AD : 2 = 2,5; AH = 4; CH = 2.
Запишем отношения сходственных сторон:
7. Рассмотрим ΔKND - прямоугольный.
По теореме Пифагора:
ND² = NK² + KD²
8. Найдем радиус.
Диаметром окружности является гипотенуза ND ΔKND.
- Радиус равен половине диаметра.
(ед.)
#SPJ1
![](https://st.uroker.com/files/9d6/9d6625fc096c1de1355fedd29792d121.png)